Question

15．據媒體6 月3 日消息，科學家在太陽系發現一顆新天體“V774104”，其與地球的相似度為99.9%，科學家稱這是有史以來發現與地球最接近的一顆“超級地球”．假設A 為“V774104”的同步衛星，離地高度為h₁；另一衛星B 的圓形軌道位于其赤道平面內，離地高度為h2（h₂＜h₁），某時刻A、B 兩衛星恰好相距最遠．已知該星球的半徑為R，表面的重力加速度為g．
（1）求“V774104”自轉的角速度ω₀
（2）如果衛星B 繞行方向與“V774104”自轉方向相同，從該時刻開始，經過多長時間A、B 兩衛星恰好第一次相距最近？

Answer 1

分析 （1）研究衛星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力及重力等于萬有引力，列出等式表示出角速度．
（2）衛星A、B繞地球做勻速圓周運動，當衛星B轉過的角度與衛星A轉過的角度之差等于π時，衛星第一次相距最近．

解答 解：（1）設同步衛星A的質量為${m}_{1}^{\;}$，“V774104”的質量為M，${m}_{2}^{\;}$為地面上一物體質量
$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}（R+{h}_{1}^{\;}）{ω}_{0}^{2}$
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{{R}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}g$
解得：${ω}_{0}^{\;}=\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{g}{R+{h}_{1}^{\;}}}$
（2）設衛星B的質量為${m}_{3}^{\;}$，角速度為ω，經過△t時間A、B兩衛星恰好第一次相距最近
$G\frac{M{m}_{3}^{\;}}{（R+{h}_{3}^{\;}）_{\;}^{2}}={m}_{3}^{\;}（R+{h}_{2}^{\;}）{ω}_{\;}^{2}$
$（ω-{ω}_{0}^{\;}）△t=π$
解得：$△t=\frac{π}{R（\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{3}}}-\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{3}}}）}$
答：（1）“V774104”自轉的角速度${ω}_{0}^{\;}$為$\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}\sqrt{\frac{R}{R+{h}_{1}^{\;}}}$
（2）如果衛星B 繞行方向與“V774104”自轉方向相同，從該時刻開始，經過時間$\frac{π}{R（\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{3}}}-\sqrt{\frac{g}{（R+{h}_{1}^{\;}）_{\;}^{3}}}）}$A、B 兩衛星恰好第一次相距最近

點評 本題考查萬有引力定律和圓周運動知識的綜合應用能力．向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．