Question

16．如圖所示，光滑的平行金屬導軌水平放置，電阻不計，導軌間距為l，左側接一阻值為R的電阻．區域cdef內存在垂直軌道平面向下的有界勻強磁場，磁場寬度為s．一質量為m、有效電阻為r的金屬棒MN置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好，受到F=0.5v+0.4（N）（v為金屬棒速度）的水平外力作用，從磁場的左邊界由靜止開始運動，測得電阻兩端電壓隨時間均勻增大．（已知：l=1m，m=1kg，R=0.3Ω，r=0.2Ω，s=1m）
（1）判斷該金屬棒在磁場中是否做勻加速直線運動？簡要說明理由；
（2）求加速度的大小和磁感應強度B的大小；
（3）若撤去外力后棒的速度v隨位移x的變化規律滿足v=v₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{m（R+r）}$x，且棒在運動到ef處時恰好靜止，則外力F作用的時間為多少？

Answer 1

分析 （1）根據切割產生的感應電動勢公式以及閉合電路歐姆定律求出電阻兩端的電壓與速度的關系，從而得出速度與時間的關系，判斷出金屬棒的運動規律．
（2）根據牛頓第二定律，結合F的大小，抓住金屬棒做勻加速直線運動，a恒定，與速度無關，求出磁感應強度的大小和加速度的大小．
（3）根據R兩端的電壓U均勻增大，分析金屬棒的運動性質．U均勻增大，v均勻增大，金屬棒做勻加速運動，由運動學公式得出金屬棒勻加速運動的位移和速度與時間的關系式．撤去外力后，由題v=v₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{m（R+r）}$x，得到勻加速運動的末速度與減速運動位移的關系式，聯立求解t．

解答 解：（1）金屬棒做勻加速運動；                      
（2）根據牛頓第二定律有：F-F_安=ma
又安培力大小為：F_安=IBl，
閉合電路歐姆定律有：I=$\frac{E}{R+r}$，
切割感應電動勢為：E=Blv
可得：F-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{R+r}$v=ma
將 F=0.5v+0.4代入上式
得：（0.5-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{R+r}$）v+0.4=ma  
即  a=（0.5-2B²）v+0.4
所以加速度為恒量，與v無關，
所以a=0.4m/s²
因為加速度為恒量，與v無關，所以有有：
（0.5-2B²）=0
得：B=0.5T                                                 
（3）設外力F作用的時間為t，力F作用下棒運動的距離為
  x₁=$\frac{1}{2}$at²
撤去外力F后棒運動的距離為x₂，則由題設有：0=at-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{m（R+r）}$x₂
因 x₁+x₂=s                                             
所以$\frac{1}{2}$at²+$\frac{m（R+r）}{{B}^{2}{l}^{2}}$at=s
代入數據得：0.2t²+0.8t-1=0
解方：t=1s或t=-5s（舍去）．
答：
（1）金屬棒做勻加速運動；
（2）金屬棒在力F作用下運動的加速度a的大小為0.4m/s²；磁感應強度B的大小為0.5T；
（3）外力F作用的時間為1s．

點評 根據物理規律找出物理量的關系，通過已知量得出未知量．要善于對物體過程分析和進行受力分析，運用牛頓第二定律結合運動學公式解決問題．