Question

【題目】如圖所示，一條河寬為60m，水流速度恒為5m/s，現要將小船上的貨物由此岸的A處沿直線送達正對岸下游45m處的B處。已知小船的速度最大可達5m/s，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2。

（1）如果小船以最小速度航行，求船速v1的大小和方向；

（2）如果要使小船在最短時間內抵達B處，求船速v2的取值和方向；

（3）求小船運動的最短時間t0。

Answer 1

【答案】（1）如果小船以最小速度航行，船速v1的大小為4m/s和方向與河岸夾角為37°指向上游；（2）如果要使小船在最短時間內抵達B處，船速v2的取值為5m/s和方向指向上游，與河岸成74°；（3）小船運動的最短時間是12.5s。

【解析】

（1）為使小船抵達B處，小船的實際航線須沿題目圖中的AB方向，即合速度方向沿AB方向，設AB與河岸的夾角為θ，由三角形法則可得：

v1=v水sinθ

方向與河岸夾角為37°指向上游；

由幾何關系得：AB=75m，有：sinθ=0.8

解得：

v1=4m/s

（2）為使小船能在最短時間內抵達B處，小船應該以最大速度航行，即v2=5m/s，并使合速度的方向仍沿AB方向；由于船速和水速大小相等，所以AB的方向是在兩個速度的角平分線上，v2的方向與河岸成2θ角，由幾何關系得2θ=106°，即船速指向上游，與河岸成74°。

（3）小船運動的合速度為：

v=2v2cosθ=2×5×0.6m/s=6m/s

所以小船運動的最短時間為：

t0==s=12.5s。