Question

如圖所示，靜止在粗糙水平面上的斜面體有三個光滑斜面AB、AC和CD．已知斜面AB與水平方向成37°角，斜面AC與水平方向成53°角，斜面CD與水平方向成30°角，A點與C點的豎直高度為h₁=0.8m，C點與D點的豎直高度為h₂=3.25m．在B點左側(cè)的水平面上有一個一端固定的輕質(zhì)彈簧，自然長度時彈簧右端到B點的水平距離為s=3.9m．質(zhì)量均為m=1kg的物體甲和乙同時從頂點A由靜止釋放，之后甲沿斜面AB下滑，乙沿AC下滑．在甲乙兩物體下滑過程中，斜面體始終處于靜止狀態(tài)，且兩物體運動中經(jīng)過B點、C點、D點時，速度大小不改變，只改變方向．甲進入水平面后向左運動壓縮彈簧的最大壓縮量為x=0.1m，乙物體進入水平面后便向右運動最終停止．已知甲物體與水平面的動摩擦因數(shù)為μ=0.6，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）彈簧的最大彈性勢能為多少？
（2）甲物體最終停止位置距B點多遠？
（3）通過計算，說明甲乙兩物體是否同時滑到水平面上？

Answer 1

（1）當滑塊甲運動到最左端時，彈簧的彈性勢能最大，對滑塊甲從A到最左端過程運用動能定理，得到
mg（h₁+h₂）-μmg（S+x）-W_彈=0-0
彈簧彈力做的功等于彈性勢能增加量，故
E_pm=W_彈
解得
E_pm=mg（h₁+h₂）-μmg（S+x）=1×10×（0.8+3.25）-0.6×1×10×（3.9+0.1）=16.5J
即彈簧的最大彈性勢能為16.5J．
（2）對甲物體從開始到停止運動的整個過程運用動能定理，有
mg（h₁+h₂）-μmg?L=0-0
解得
L=

h1+h2

μ

=6.75m
故甲物體最終停止位置距B點為：x₁=2（h₁+h₂）-L=1.25m．
 （3）甲物體受重力、支持力，根據(jù)牛頓第二定律，有
mgsin37°=ma₁
根據(jù)位移時間公式，有

h1+h2

sin37°

=

1

2

a1

t

21

解得
t₁=1.5s
對于乙物體，在傾角為53°的斜面上時，加速度設為a2，在傾角為30°的斜面上時，加速度設為a₃
根據(jù)牛頓第二定律，有
mgsin53°=ma₂
mgsin30°=ma₃
根據(jù)運動學公式，有

h1

sin53°

=

1

2

a2

t

22

v=a₂t₂

h2

sin30°

=vt₃+

1

2

a3

t

23

解得
t₂=0.5s
t₃=1s
故t₁=t₂+t₃
即甲乙兩物體同時到達水平面上．