Question

已知地球半徑為R，地球同步衛星離地面的高度為h，周期為T₀．另有一顆軌道平面在赤道平面內繞地球自西向東運行的衛星，某時刻該衛星能觀察到的赤道弧長最大為赤道周長的三分之一．求：
（1）該衛星的周期；
（2）該衛星相鄰兩次經過地球赤道上某點的上空所需的時間．

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力列出等式求解
（2）衛星相鄰兩次經過地球赤道上某點的上空轉過的角度之差為2π，由幾何關系列出等式求解．

解答：解：（1）該衛星所觀察地球赤道弧長為赤道周長的三分之一，該圓弧對應的圓心角為120°，由幾何關系知該衛星軌道半徑為r=2R     
設該衛星質量為m，周期為T，地球質量為M

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

                
設同步衛星的質量為m₀，

GMm0

(R+h)2

=

m0?4π2(R+h)

T02

          
解得：T=T₀

( 2R R+h )3

                  
（2）設該衛星相鄰兩次經過地球赤道上某點的上空所需的時間為t

t

T

-

t

T0

=1                            
解得t=

(2R)3 T0

(R+h)3 - (2R)3

             
答：（1）該衛星的周期是T₀

( 2R R+h )3

        
（2）該衛星相鄰兩次經過地球赤道上某點的上空所需的時間是

(2R)3 T0

(R+h)3 - (2R)3

．

點評：本題難度中等，明確衛星相鄰兩次經過地球赤道上某點的上空轉過的角度之差為2π，天體運動實際還是圓周運動，只是本類型題物理量較多，公式推導及其復雜