Question

19．如圖所示，有一個可視為質點的質量為m=0.9kg的小物塊．從光滑平臺上的A點以v₀=2m/s的初速度水平拋出，到達C點時，恰好沿C點的切線方向進入固定在水平地面上的光滑圓弧軌道，最后小物塊滑上緊靠軌道末端D點的質量為M=3.6kg的長木板．已知足夠長的木板上表面與圓弧軌道末端切線相平，木板下表面與水平地面之間光滑，小物塊與長木板間的動摩擦因數μ=0.3，圓弧軌道的半徑為R=0.9m，C點和圓弧的圓心連線與豎直方向的夾角θ=60°，不計空氣阻力，g取10m/s²．求：
（1）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力；
（2）從小物塊滑上長木板到兩者相對靜止時，長木板運動的時間為多少？

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒定律可求出C點的速度，對C到D運用動能定理求出到達D點的速度，根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對軌道的壓力．
（2）當小物塊剛好不從長木板滑出時，與木板具有相同的速度，根據牛頓第二定律和運動學公式求出共同的速度，因為摩擦力與相對路程的乘積等于產生的熱量，結合能量守恒定律求出木板的長度．

解答 解：（1）小物塊在C點時的速度大小為v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$
小物塊由C到D的過程中，由機械能守恒定律得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²
代入數據解得v_D=5 m/s
小球在D點時由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
代入數據解得F_N=34 N
由牛頓第三定律得F_N′=F_N=34N，方向豎直向下．
（2）設小物塊與木板達到共同速度的大小為v，小物塊在木板上滑行的過程中，小物塊與長木板的加速度大小分別為
a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.3×10=3m/s²；
a₂=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.3×0.9×10}{3.6}$=0.75m/s²；
速度分別為v=v_D-a₁t，v=a₂t
由以上各式解得：t=$\frac{4}{3}$s
答：（1）小物塊剛要到達圓弧軌道末端D點時對軌道的壓力為3.4N；
（2）從小物塊滑上長木板到兩者相對靜止時，長木板運動的時間為$\frac{4}{3}$s

點評 本題綜合考查了動能定理、牛頓第二定律、向心力等知識，綜合性較強，關鍵理清物塊的運動過程，并做好受力分析，才能準確選擇合適的規律進行求解，