Question

11．如圖所示，P是水平面上的圓弧軌道，從高臺邊B點以速度v₀水平飛出質量為m的小球，恰能從固定在某位置的圓弧軌道的左端A點沿圓弧切線方向進入．O是圓弧的圓心，θ是OA與豎直方向的夾角．已知：m=0.5kg，v₀=3m/s，θ=53°，圓弧軌道半徑R=0.5m，g=10m/s²，不及空氣阻力和所有摩擦，求
（1）A、B兩點的高度差；
（2）小球能否到達最高點C，如能到達，小球對C點的壓力大小為多少？

Answer 1

分析 （1）小球從B到A做平拋運動，根據小球到達A點時速度沿圓弧切線方向，由速度的分解法求出小球經過A點的速度，再由機械能守恒求AB間的高度差．
（2）假設小球能到達C點，由機械能守恒求出小球到達C點的速度，再與C點的臨界速度比較，分析小球能否到達最高點C，如能到達，再由牛頓運動定律求小球對C點的壓力大小．

解答 解：（1）小球從B到A做平拋運動，在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動．據題知，小球到達A點時，速度與水平方向的夾角為θ，則有
小球到達A點的速度為 v_A=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{3}{cos53°}$=5m/s
對平拋運動的過程，由機械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得A、B兩點的高度差  h=0.8m
（2）假設小球能到達C點，由機械能守恒得：
 $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數據解得：v_C=3m/s
小球通過C點的最小速度為v，則 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{5}$m/s
因為 v_C＞v，所以小球能到達最高點C．
在C點，由牛頓第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數據解得：F=5N
由牛頓第三定律知，小球對C點的壓力大小為5N．
答：（1）A、B兩點的高度差是0.8m．
（2）小球對C點的壓力大小為5N．

點評 解決本題的關鍵掌握處理平拋運動的方法，平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動．并能把握圓周運動的臨界條件．