Question

如圖(甲)所示，兩光滑導軌都由水平、傾斜兩部分圓滑對接而成，相互平行放置，兩導軌相距L＝lm，傾斜導軌與水平面成＝30°角，傾斜導軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強磁場區I中，I區中磁場的磁感應強度B₁隨時間變化的規律如圖(乙)所示，圖中t₁、t₂未知．水平導軌足夠長，其左端接有理想的靈敏電流計G和定值電阻R＝3 Ω，水平導軌處在一豎直向上的勻強磁場區Ⅱ中，Ⅱ區中的磁場恒定不變，磁感應強度大小為B₂＝1 T，在t＝0時刻，從斜軌上磁場I區外某處垂直于導軌水平釋放一金屬棒ab，棒的質量m＝0.1 kg，電阻r＝2 Ω，棒下滑時與導軌保持良好接觸，棒由斜軌滑向水平軌時無機械能損失，導軌的電阻不計．若棒在斜面上向下滑動的整個過程中，靈敏電流計G的示數大小保持不變，t₂時刻進入水平軌道，立刻對棒施一平行于框架平面沿水平方向且與桿垂直的外力．(g取10 m/s²)求∶

(1)磁場區I在沿斜軌方向上的寬度d；

(2)棒從開始運動到剛好進入水平軌道這段時間內ab棒上產生的熱量；

(3)若棒在t₂時刻進入水平導軌后，電流計G的電流大小I隨時間t變化的關系如圖(丙)所示(I₀未知)，已知t₂到t₃的時間為0.5 s，t₃到t₄的時間為1 s，請在圖(丁)中作出t₂到t₄時間內外力大小F隨時間t變化的函數圖像．

Answer 1

答案：
解析：

(1)電流表的示數不變，說明在整個下滑過程中回路的的電動勢是不變的，說明在B變化時和不變時感應電動勢大小一樣，所以可以判斷在t1時刻棒剛好進入磁場區域且做勻速直線運動． 　　mgsin－BIL＝0，，E1＝BLV，代入數值得v＝2.5 m/s 　　沒進入磁場以前做勻加速直線運動，加速度是a＝gsin30°＝5 m/s2，v＝at，t1＝0.5 s，下滑的距離是s1＝at2＝0.625 m，再沒進入磁場以前，由于B均勻變化，所以E2＝， 　　又E1＝BLV　E1＝E2，41d＝112.5，d＝0.625 m 　　(2)ab棒進入磁場以前，棒上產生的熱量為Q1＝I2rt1＝0.52×2×0.5 J＝0.25 J 　　取ab棒在斜軌磁場中運動為研究過程，mgdsin－Q2＝0　Q2＝0.3125 J． 　　此時，棒上產生的熱量是Q2r＝＝0.125 J 　　則棒上產生的總熱量是Qr＝Q1＋Q2r＝0.375 J 　　或∶Qr＝I2R(t1＋t2)＝0.52×2×(0.5＋0.25)J＝0.375 J 　　(3)因為E＝BLv，所以剛進水平軌道時時的電動勢是E＝2.5 V，I0＝＝0.5 A 　　取t2時刻為零時刻，則根據圖線可以寫出I－t的方程式∶I＝0.5－，I＝， 　　則v＝2.5－5 ，所以a1＝5 m/s2．有牛頓第二定律可得∶F＋BIL＝ma1，F＝ 　　畫在坐標系里． 　　由丙圖可以同理得出棒運動的加速度大小是a2＝2.5 m/s2，依據牛頓定律得F－BIL＝ma2 　　取t3時刻為零時刻，可以寫出t3時刻后的I與時間的關系式，I＝0.5 t，代入上面的式子可以得到F＝0.25＋0.5 t畫在坐標系里．(圖中圖線作為參考)