Question

早期的電視機是用顯像管來顯示圖象的，在顯像管中需要用變化的磁場來控制電子束的偏轉．如圖甲為顯像管工作原理示意圖，陰極K發射的電子束（初速不計）經電壓為U的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區，磁場方向垂直于圓面，磁場區的中心為O，半徑為r，熒光屏MN到磁場區中心O的距離為L．當不加磁場時，電子束將通過O點垂直打到屏幕的中心P點，當磁場的磁感應強度隨時間按如圖乙所示的規律變化時，在熒光屏上得到一條長為2

3

L的亮線．由于電子通過磁場區的時間很短，可以認為在每個電子通過磁場區的過程中磁場的磁感應強度不變．已知電子的電荷量為e，質量為m，不計電子之間的相互作用及所受的重力．求：
（1）從進入磁場區開始計時，電子打到P經歷的時間；
（2）從進入磁場區開始計時，電子打到亮線端點經歷的時間．

Answer 1

分析：（1）電子經過電場時，電場力做功，求得電子到達磁場前的速度；達到P點 電子一直做勻速直線運動，根據公式x=vt即可求得時間；
（2）到達亮線端點的電子在磁場中做勻速圓周運動，并且沿半徑的方向射出磁場，然后做勻速直線運動，電子打到亮線端點經歷的時間是兩段時間的和．

解答：解：（1）由動能定理得：eU=

1

2

mv² 
所以：v=

2eU m

達到P點 電子一直做勻速直線運動，t1=

r+L

v

=(L+r)

m 2eU

（2）當磁感應強度為B₀或-B₀時（垂直于紙面向里為正方向），電子剛好到達最下邊或最上邊的最遠處，到達最上邊的粒子的軌跡如圖所示．
由圖可知，粒子的偏轉角：tanα=

3 L

L

=

3

解得：α=60°
設此時圓周的半徑為R，由洛倫茲力提供向心力：eBv=

mv2

R

根據幾何關系有：

r

R

=tan

α

2

=

3

3

解得：B=

3 mv

3er

粒子運動的周期：T=

2πR

v

=

2πm

eB

粒子在磁場中的運動時間：t=

60°

360°

T=

πm

3eB

=

πmr

6meU

=πr

m 6eU

由幾何關系得粒子在直線運動的位移x：

L-r

x

=cos60°
因此有：x=

2 3

3

(L-r)
又：x=vt′
代入數據解得：t′=

x

v

=2(L-r)

m 6eU

解得粒子打到亮線端點經歷的時間：t2=t+t′=2(L-r+

πr

2

)

m 6eU

答：（1）從進入磁場區開始計時，電子打到P經歷的時間t1=(L+r)

m 2eU

；
（2）從進入磁場區開始計時，電子打到亮線端點經歷的時間t2=2(L-r+

πr

2

)

m 6eU

．

點評：考查動能定理、動量定理與牛頓第二定律等規律的理解，掌握幾何關系的應用，同時畫出正確的運動軌跡．