Question

2．位于豎直平面內的光滑軌道，有一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接，圓形軌道的半徑為R，一質量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓軌道運動，
（1）要求物塊能通過圓軌道最高點，求物塊初始位置相對圓形軌道底部的高度h；
（2）若要求小物塊在該軌道最高點與軌道間的壓力不超過5mg，求物塊初始位置相對圓形軌道底部的高度H．

Answer 1

分析 （1）物塊恰好能通過圓形軌道最高點時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得最高點的臨界速度，再根據機械能守恒定律求解．
（2）以物塊為研究對象，根據牛頓第二定律求出最高點的速度，再機械能守恒求解H．

解答 解：（1）設從高度h₁處開始下滑，恰能以v₁通過圓周軌道最高點．
在圓軌道最高點有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由機械能守恒得：mgh₁=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₁²…②
由①②式得：h₁=2.5R，所以高度h至少要2.5R．
（2）設從高度h₂處開始下滑，過圓周最高點時速度為v₂，滑塊在最高點與軌道間的壓力是5mg，
在最高點由牛頓第二定律得：5mg+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$…③
由機械能守恒定律得：mgH=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₂²…④
由③④式得：H=5R；
所以物塊初始位置相對圓形軌道底部的高度H應滿足：2.5R≤H≤5R．
答：（1）h≥2.5R時物塊能通過圓形軌道最高點；
（2）物塊初始位置相對圓形軌道底部的高度H應滿足2.5R≤H≤5R．

點評 解決本題的關鍵要明確圓周運動最高點的臨界條件：重力等于向心力．對于軌道光滑的情形，往往根據機械能守恒定律求高度．