Question

【題目】地球質量為M，半徑為R，自轉周期為T0，取無窮遠處的引力勢能為零．質量為m的衛星在繞地球無動力飛行時，它和地球組成的系統機械能守恒，它們之間引力勢能的表達式是Ep=-，其中r是衛星與地心間的距離．現欲將質量為m的衛星從近地圓軌道Ⅰ發射到橢圓軌道Ⅱ上去，軌道Ⅱ的近地點A和遠地點B距地心分別為r1=R，r2=3R．若衛星在軌道Ⅱ上的機械能和在r3=2R的圓周軌道Ⅲ上的機械能相同，則（　　）

A. 衛星在近地圓軌道Ⅰ上運行的周期與地球自轉周期相同

B. 從軌道Ⅰ發射到軌道Ⅱ需要在近地的A點一次性給它提供能量

C. 衛星在橢圓軌道上的周期為T0

D. 衛星在橢圓軌道Ⅱ上自由運行時，它在B點的機械能大于在A點的機械能

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據開普勒第三定律比較衛星在近地圓軌道Ⅰ上運行的周期與地球同步衛星周期的關系，即得到與地球自轉周期關系．根據能量守恒定律求衛星變軌需要提供的能量．由開普勒第三定律求衛星在橢圓軌道上的周期．衛星在橢圓軌道上運動時機械能是守恒的．

A、根據開普勒第三定律可知，衛星在近地圓軌道Ⅰ上運行的周期小于地球同步衛星周期，即小于地球自轉周期．故A錯誤．

B、設從軌道Ⅰ發射到軌道Ⅱ需要在近地的A點一次性給它提供能量為E．衛星在軌道Ⅰ和軌道Ⅲ上的速率分別為v1和v3．

則v1=，v3=

據題知，衛星在軌道Ⅱ上的機械能和在r3=2R的圓周軌道Ⅲ上的機械能相同，根據能量守恒定律得：

-++E=+（-）

聯立解得E=．故B正確．

C、設衛星在橢圓軌道上的周期為T，而地球同步衛星的軌道半徑為r．根據開普勒第三定律得：

=

即：r1=R，r2=3R，而r＞R

解得T=T0，2r≠R，故C錯誤．

D、衛星在橢圓軌道Ⅱ上自由運行時，只有萬有引力對它做功，其機械能守恒，則它在B點的機械能等于在A點的機械能．故D錯誤．

故選：B