Question

如圖，某貨場需將質量為m₁=100kg的貨物（可視為質點）從高處運送至地面，為避免貨物與地面發生撞擊，現利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物由軌道頂端無初速滑下，軌道半徑R=1.8m．地面上緊靠軌道依次排放兩個完全相同的木板A、B，長度均為l=2.0m，質量均為m₂=100kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動摩擦因數為μ₁，木板與地面間的動摩擦因數μ=0.20．（最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
求：（1）若貨物滑上木板A時，木板不動；而滑上木板B時，木板B開始滑動，求μ₁應滿足的條件．
（2）若μ₁=0.5，求貨物滑到木板A末端時的速度和在木板B上運動的時間．

Answer 1

【答案】分析：（1）若貨物滑上木板A時，木板A不動，則木板所受的貨物的滑動摩擦力不大于地面對木板A的最大靜摩擦力；滑上木板B時，木板B開始滑動，說明貨物對B的滑動摩擦力大于地面對B的最大靜摩擦力，列出不等式，求出μ₁應滿足的條件．
（2）根據機械能守恒定律求出貨物剛滑上A時的速度大小．根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出貨物滑到木板A末端時的速度．假設貨物與B有共同的速度，由速度公式求出貨物在B上滑行的時間，根據兩者的相對位移判斷假設是否成立，再確定貨物在B運動的時間．
解答：解：（1）若貨物滑上木板A時，木板不動，μ₁m₁g≤μ（m₁+2m₂）g    
若滑上木板B時，木板B開始滑動，由受力分析得μ₁m₁g＞μ（m₁+m₂）g    
聯立代入數據解得 0.4＜μ₁≤0.6              
（2）設貨物滑到圓軌道末端是的速度為V，對貨物的下滑過程中根據機械能守恒定律得，
m₁gR=m₁v²
解得，v=6m/s
若μ₁=0.5，由上式可知，貨物在木板A上滑動時，木板不動．設貨物在木板A上做減速運動時的加速度大小為a₁，由牛頓第二定律得
   μ₁m₁g=m₁a₁，
設貨物滑到木板A末端時的速度為v₁，由運動學公式得=-2a₁l，聯立代入數據解得   v₁=4m/s
設在木板A上運動的時間為t₁，由運動學公式得
   v₁=v-a₁t₁，
解得t₁=0.4s．
貨物在B上向右做勻減速運動，由牛頓第二定律得
對物體：μ₁m₁g=m₁a₁，得a₁=μ₁g=5m/s²
對B：μ₁m₁g-μ（m₁+m₂）g=m₂a₂，得a₂=1m/s²．
假設兩者能有共同的速度，即有
v₁-a₁t=a₂t
解得，貨物在木板B上運動的時間   t=0.67s
共同速度為v=a₂t=0.67m/s
此過程中，貨物的位移大小為x₁=，B的位移大小為x₂=
則貨物相對于B的位移大小為△x=x₁-x₂==1.3m＜l=2m，說明兩者速度相同時，貨物仍在B上．
所以貨物在木板B上運動的時間為0.67s．
答：（1）若貨物滑上木板A時，木板不動；而滑上木板B時，木板B開始滑動，μ₁應滿足的條件是0.4＜μ₁≤0.6．
（2）若μ₁=0.5，貨物滑到木板A末端時的速度是4m/s，和在木板B上運動的時間是0.67s．
點評：本題考查了機械能守恒、牛頓運動定律和運動學公式的綜合應用，特別需要注意的是貨物在水平面上運動時木板的運動狀態，由于是兩塊木板，所以貨物運到到不同的地方時木板的受力不一樣．采用假設法的方法進行判斷．