Question

13．進入21世紀，低碳環保、注重新能源的開發與利用的理念，已經日益融入生產、生活之中，如圖所示，某節水噴灌系統的噴水圖如圖甲所示，噴口距地面的高度差是h，能沿水平方向旋轉，噴口離轉動中心的距離為a，噴出水的落點離地面上水管中心的距離為R．水泵出水口單位時間流出水的質量為m，所用的水是從井下抽取的，井中水面離地面的高度為H，并一直保持不變．水泵由效率為η₁的太陽能電池板供電，電池板與水平面之間的夾角為α，太陽光豎直向下照射（如圖乙所示），太陽光垂直照射時單位時間、單位面積接受的能量為E₀．水泵的效率為η₂，不計水在細水管和空氣中運動時所受的阻力．求：
（1）水從小孔噴出時的速度大小．
（2）水泵的輸出功率．
（3）為了使水泵的工作能維持水面的高度不變，太陽能電池板面積的最小值S．

Answer 1

分析 （1）由題意可知水做平拋運動的水平位移及豎直高度，則由平拋運動規律可得出水從小孔中噴出的速度；
（2）由功能關系可求得水泵做的功，由功率公式可求得功率；
（3）由太陽能及水泵在轉化中的效率可求得實際需要的太陽能量，則可求得太陽能的電池板面積的最小值．

解答 解：（1）根據平拋運動規律可知，
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
R-a=v₀t
解得：v₀=（R-a）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）水泵做功轉化為水的重力勢能和動能，根據功能關系可知：
ts內做功：
W=$\frac{1}{2}$mtv₀²+mtg（H+h）=$\frac{mt（R-a）^{2}g}{4h}$+mgt（H+h）
則水泵的輸出功率P=$\frac{W}{t}$=mg（H+h）+$\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}$；
（3）考慮單位時間內的能量轉化及利用效率，太陽能電池板接收太陽能的其中一部分轉變成電能E₁，電能通過水泵將其中的部分轉變成水的勢能與動能E₂，有
E₁=η₁E₀cosθ                                                      
E₂=η₂E₁                                                             
E₂=mg（H+h）+$\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}$；
解得
最小面積S=$\frac{mg（h+H）+\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}}{{η}_{1}{η}_{2}{E}_{0}cosα}$
答：（1）水從小孔噴出時的速度大小為（R-a）$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）水泵的輸出功率為mg（H+h）+$\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}$；
（3）為了使水泵的工作能維持水面的高度不變，太陽能電池板面積的最小值為$\frac{mg（h+H）+\frac{mg（R-a）^{2}}{4h}}{{η}_{1}{η}_{2}{E}_{0}cosα}$

點評 本題根據生活中的例子考查功能的關系，解題的關鍵在于明確題意，從而構建出我們所熟知的物理模型，找出對應的功能關系的轉化規律即可正確解答．