Question

兩行星A和 B 是兩個均勻球體，行星A的衛星a沿圓軌道運行的周期T_a；行星B 的衛星b沿圓軌道運行的周期為T_b．設兩衛星均為各中心星體的近表衛星，而且T_a：T_b=1：4，行星A和行星 B的半徑之比 R_A：R_B=1：2，則行星A和行星 B的密度之比ρ_A：ρ_B=

16：1

，行星表面的重力加速度之比g_A：g_B=

8：1

．

Answer 1

分析：研究衛星繞行星勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求解．
忽略行星自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式．

解答：解：
人造地球衛星的萬有引力充當向心力，即：
G

Mm

R2

=mR

4π2

T2

①
體積為：
V=

4πR3

3

②
解得密度為：
ρ=

M

V

=

3π

GT2

故AB密度之比為：
ρA：ρB=12：42=1：16
忽略行星自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式：
G

Mm

R2

=mg③
由①③解得：
g=

4π2R

T2

所以兩行星表面處重力加速度之比為：
gA：gB=

1

12

：

2

42

=8：1
故答案為：16：1；8：1

點評：求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再根據表達式進行比較．
向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．