Question

一彈性小球自h₀=5m高處自由落下，當它與水平地面每碰撞一次后，速度減小到碰撞前的

7

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倍．不計每次碰撞時間，g取10m/s²，試計算小球從開始下落到停止運動所經歷時間t和通過的總路程s．【首項a₁、公比q的無窮等比數列的和為

a1

1-q

】．

Answer 1

分析：設小球第一次落地時速度為v₀，進而可表示出v₀，v_1…v_n，進而前三次小球下落的路程，歸納出球第n次到第n+1次與地面碰撞經過路程，進而的出從第一次到第n+1次所經過的路程的極限；同理可歸納出小球從開始下落到第n次與地面相碰經過時間，求出前n項和的極限即可得到答案．

解答：解：設小球第一次落地時速度為v₀，則有v₀=

2gh0

=10m/s
那么第二，第三，第n+1次落地速度分別為v₁=

7

9

v₀，v₂=（

7

9

）²v₀，…，v_n=（

7

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）ⁿv₀
小球開始下落到第一次與地相碰經過的路程為h₀=5m，
小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經過的路程是L₁=2×

v 2 1

2g

=10×（

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9

）²．
小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經過的路程為L₂，則L₂=2×

v 2 2

2g

=10×（

7

9

）⁴．
由數學歸納法可知，小球第n次到第n+1次與地面碰撞經過路程為L_n=10×（

7

9

）²ⁿ．
故小球從開始下落到停止運動所經歷時間t和通過的總路程s為：
S=h₀+L₁+L₂=5+

10×( 7 9 )2

1-( 7 9 )2

=20.3（m）
小球從開始下落到第一次與地面相碰經過時間t₀=

2h0 g

=1s．
小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經過的時間t₁=2×

v1

g

=2×

7

9

，
同理可得t_n=2×（

7

9

）ⁿ
故t=t₀+t₁+t₂+…=1+

2× 7 9

1- 7 9

=8s
答：小球從開始下落到停止運動所經歷時間t為8s，通過的總路程s為20.3m．

點評：本題主要考查等比數列的求和公式．可以通過歸納法歸納出其中包含的等比數列．