Question

兒童滑梯可以看成是由斜槽AB和水平槽CD組成，中間用很短的光滑圓弧槽BC連接，如圖所示．質量為m的兒童從斜槽的頂點A由靜止開始沿斜槽AB滑下，再進入水平槽CD，最后停在水平槽上的E點，由A到E的水平距離設為L．假設兒童可以看作質點，已知兒童的質量為m，他與斜槽和水平槽間的動摩擦因數都為μ，A點與水平槽CD的高度差為h．
（1）求兒童從A點滑到E點的過程中，重力做的功和克服摩擦力做的功；
（2）試分析說明，兒童沿滑梯滑下通過的水平距離L與斜槽AB跟水平面的夾角無關；
（3）要使兒童沿滑梯滑下過程中的最大速度不超過v，斜槽與水平面的夾角不能超過多少？（可用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（1）重力做功與路徑無關，只與初末位置有關；根據動能定理列式求解克服摩擦力做的功．
（2）對全程根據動能定理列式求解水平槽上滑行的位移表達式進行討論．
（3）對小孩在斜面上加速過程過程運用動能定理列式，求解出最大速度的表達式進行討論即可．

解答：解：（1）兒童從A點滑到E點的過程中，重力做功W=mgh，兒童由靜止開始滑下最后停在E點，在整個過程中克服摩擦力做功W₁，由動能定理得，
mgh-W₁=0，則克服摩擦力做功為W₁=mgh
（2）設斜槽AB與水平面的夾角為α，兒童在斜槽上受重力mg，支持力F_N1和滑動摩擦力f₁
f₁=μmgcosα
兒童在水平槽上受重力mg、支持力F_N2和滑動摩擦力f₂
f₂=μmg
兒童從A點由靜止滑下，最后停在E點，由動能定理得
mgh-μmgcosα?

h

sinα

-μmg(L-h?cotα)=0 
解得L=

h

μ

，它與角α無關
（3）兒童沿滑梯滑下的過程中，通過B點的速度最大，顯然，傾角α越大，通過B點的速度越大，設傾角為α₀時有最大速度v，由動能定理得
mgh-μmgcosα0

h

sinα0

=

1

2

mv2
解得最大傾角α0=arccot(

2gh-v2

2μgh

)
答：（1）兒童從A點滑到E點的過程中，重力做的功為mgh，克服摩擦力做的功也為mgh；
（2）兒童沿滑梯滑下通過的水平距離L與斜槽AB跟水平面的夾角無關，證明如上；
（3）要使兒童沿滑梯滑下過程中的最大速度不超過v，斜槽與水平面的夾角不能超過arccot(

2gh-v2

2μgh

)．

點評：本題中小孩從A到E過程中克服摩擦力做功等于μmgL，可以作為結論記住，根據該原理還可以測量動摩擦因素．