Question

（2013?浦東新區一模）如圖所示，水平放置的光滑絕緣桿上B點的正上方O點固定一個帶電量為Q=+6.0×10^-8C的點電荷，BO相距h=0.24m，B點左側的A點處套有一個帶電量為q=-5.0×10^-9C、質量為m=2.0×10^-4kg帶電小圓環，已知∠OAB=37°．C為桿上B點右側的另一點，∠OCB=53°．
已知由點電荷+Q產生的電場中，距離該點電荷為r處的電勢為φ=k

Q

r

，其中k為靜電力恒量，k=9.0×10⁹ N?m²/C²．（sin37°=0.6，sin53°=0.8）．試問：
（1）點電荷Q在A、B、C三點產生的電勢φ_A、φ_B、φ_C分別多大？
（2）將帶電小圓環從A點由靜止釋放，它到達C點時速度多大？
（3）若將圓環帶電量改為qˊ=+1.0×10^-8C，并給其一個指向C點的初速度，則初速度v₀至少多大才能使其到達C點？

Answer 1

分析：（1）由數學知識得到A、B、C三點到Q點電荷的距離r，由φ=k

Q

r

求出三點的電勢．
（2）帶電小圓環從A點到C點的過程中，電場力做功qU_AC=q（φ_A-φ_C），其他力不做功，根據動能定理求解到達C點時速度．
（3）圓環改為帶正電后，沿桿向右運動時先要克服電場力做功到達B點，然后電場力做正功使其到達C點，圓環至少要能到達B點，即到達B點時速度應等于零，根據動能定理研究圓環從A到B的過程，求解初速度．

解答：解：（1）根據題給公式φ=k

Q

r

，有
φA=k

Q

h sin37°

=k

Qsin37°

h

=9.0×109×

6.0×10-8×0.6

0.24

V=1350V
φB=k

Q

h

=9.0×109×

6.0×10-8

0.24

V=2250V
φC=k

Q

h sin53°

=k

Qsin53°

h

=9.0×109×

6.0×10-8×0.8

0.24

V=1800V
（2）設圓環到達C點時速度為v_C，根據動能定理，有
  qUAC=

1

2

mvC2
即q(φA-φC)=

1

2

mvC2
得vC=

2q(φA-φC) m

=

2×(-5.0×10-9)(1350-1800) 2.0×10-4

m/s=0.15m/s
（3）圓環改為帶正電后，沿桿向右運動時先要克服電場力做功到達B點，然后電場力做正功使其到達C點，所以對圓環初速度v₀的要求是至少要能到達B點，即到達B點時速度應等于零．
根據動能定理，有q′UAB=0-

1

2

mv02
即q′(φB-φA)=

1

2

mv02
vB=

2q′(φB-φA) m

=

2×1.0×10-8×(2250-1350) 2.0×10-4

m/s=0.30m/s
所以初速度v₀至少為0.30m/s才能使其到達C點．
答：
（1）點電荷Q在A、B、C三點產生的電勢φ_A、φ_B、φ_C分別是1350V，2250V和1800V．
（2）將帶電小圓環從A點由靜止釋放，它到達C點時速度是0.15m/s．
（3）若將圓環帶電量改為qˊ=+1.0×10^-8C，初速度v₀至少為0.30m/s才能使其到達C點．

點評：本題是信息題，要抓住題給的公式φ=k

Q

r

求解電勢，可確定電勢差，求出電場力做功．第3問，要注意分析臨界條件．