Question

不同的人造地球衛星它們的軌道是不同的，有一種人造地球衛星它們的軌道平面與地球的赤道平面重合，這類衛星稱為赤道軌道衛星．赤道衛星繞地球的運動可看成是勻速圓周運動．有一顆赤道衛星，測得其距離地球表面高度為h，其運轉方向與地球的自轉的方向相同．地球自轉的角速度為ω₀，地球的半徑為R，地球的第一宇宙速度為v．在某時刻該赤道軌道衛星正好通過地球赤道上某一建筑物的正上方，求：
（1）該赤道軌道衛星的角速度，線速度，周期；
（2）該赤道軌道衛星下次通過該建筑物上方所需的時間．

Answer 1

（1）用ω表示衛星的角速度，用m、M分別表示衛星及地球的質量，萬有引力提供向心力：
G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)ω² ①
在天體的表面有：
G

Mm

R2

=m

v2

R

②
聯立①②解得ω=

v

(R+h)

R R+h

線速度v′=v

R R+h

則周期T=

2π(R+h)

v′

=

2π(R+h)

v

R+h R

（2）若ω＞ω₀，即衛星低于同步衛星的高度，用t表示所需的時間，則有：
（ω-ω₀）t=2π
所以t=

2π

ω-ω0

=

2π

v R+h R R+h -ω0

若ω＜ω₀，即衛星高于同步衛星的高度，用t表示所需的時間，則有：
（ω₀-ω）t=2π
所以t=

2π

ω0-ω

=

2π

ω0- v R+h R R+h

答：（1）該赤道軌道衛星的線速度是v

R R+h

，角速度為

v

R+h

R R+h

，周期為

2π(R+h)

v

R+h R

；
（2）當衛星低于同步衛星的高度，用t表示所需的時間為

2π

v R+h R R+h -ω0

；
當衛星高于同步衛星的高度，用t表示所需的時間為

2π

ω0- v R+h R R+h

．