Question

14．某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質量為M的卡通玩具穩定地懸停在空中．為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v₀豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變為零，在水平方向朝四周均勻散開．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g．求玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度．

Answer 1

分析 根據能量守恒得出水到達玩具底板時的速度，結合動量定理得出作用力的大小，抓住作用力與玩具的重力相等，聯立求出玩具懸停在空中離噴口的高度．

解答 解：設玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h，水從噴口噴出后到達玩具底面時的速度大小為v．對于△t時間內噴出的水，由能量守恒得：
$\frac{1}{2}（△m）{v^2}+（△m）gh=\frac{1}{2}（△m）v_0^2$…①
在h高度處，△t時間內噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為：△p=（△m）v…②
設水對玩具的作用力的大小為F，根據動量定理有：F•△t=△p…③
由于玩具在空中懸停，由力的平衡條件得：F=Mg…④
聯立①②③④式得：$h=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{{{M^2}g}}{{2{ρ^2}v_0^2S_{\;}^2}}$．
答：玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}-\frac{{M}^{2}g}{2{ρ}^{2}{{v}_{0}}^{2}{S}^{2}}$．

點評 本題主要考查了動量定理與能量守恒的直接應用，知道玩具在空中懸停時，受力平衡，合力為零，兩外注意水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變為零，難度適中．