Question

15．宇航員在月球上自高h處以初速度v₀水平拋出一小球，測出水平射程為L（這時月球表面可以看作是平坦的），則
（1）月球表面處的重力加速度是多大？
（2）若已知月球半徑為R，要在月球上發射一顆月球衛星，發射速度至少為多大？
（3）它在月球表面附近環繞月球運行的周期是多少？

Answer 1

分析 （1）平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做自由落體運動，根據平拋運動的知識求出月球表面的重力加速度．
（2）以最小速度發射的衛星將貼著月球的表面運行，軌道半徑等于月球的半徑．根據萬有引力提供向心力求出最小的發射速度．
（3）由萬有引力提供向心力即可求出衛星的周期．

解答 解：（1）小球做平拋運動，在豎直方向上做自由落體運動，有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向上做勻速直線運動，有：L=v₀t
解得：$g=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$
（2）著陸器繞月球表面運行萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
而月球表面上的物體有$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$
解得：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}R}{{L}^{2}}}=\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$
（3）根據萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
聯立得：T=$\frac{2πL}{{v}_{0}}•\sqrt{\frac{R}{2h}}$
答：（1）月球表面處的重力加速度為$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$．
（2）如果要在月球上發射一顆月球衛星，發射速度至少為$\frac{{v}_{0}}{L\;}\sqrt{2hR}$．
（3）它在月球表面附近環繞月球運行的周期是$\frac{2πL}{{v}_{0}}•\sqrt{\frac{R}{2h}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，以及萬有引力提供做衛星做圓周運動的向心力．