Question

如圖8所示，半徑分別為R、r（R＞r）的甲、乙兩圓形軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一條水平軌道（CD）相連，如小球從離地3R的高處A點(diǎn)由靜止釋放，可以滑過(guò)甲軌道，經(jīng)過(guò)CD段又滑上乙軌道后離開(kāi)兩圓形軌道，小球與CD段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其余各段均光滑.為避免出現(xiàn)小球脫離圓形軌道而發(fā)生撞軌現(xiàn)象，試設(shè)計(jì)CD段的長(zhǎng)度.

圖8

提示：小球滑上乙軌道而不撞軌，小球可以通過(guò)乙軌道的最高點(diǎn)；可以使小球到乙軌圓心等高處之前再返回.

Answer 1

解析：（1）小球在甲軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為v_min=，設(shè)小球能通過(guò)甲軌道最高點(diǎn)時(shí)速度為v₁.

由機(jī)械能守恒定律得：mg·3R=mg·2R+mv₁²

v₁=  因?yàn)関₁=＞，

所以小球能通過(guò)甲軌道而不撞軌.

（2）設(shè)CD的長(zhǎng)度為x，小球在乙軌道最高點(diǎn)的最小速度為v₂=

小球要通過(guò)乙軌道最高點(diǎn)，則需滿足：mg·（3R-2r）-μmgx≥mv₂²得：x≤

小球到乙軌圓心等高處之前再返回，則需滿足：

mg·（3R-r）-μmgx≤0

且mg·3R-μmgx＞0得：≤x＜

總結(jié)論：CD≤或≤CD＜.

答案：CD≤或≤CD＜