Question

2．在光滑的水平長直軌道上，有一長度為L=1m的平板車，某時刻將一質量為m=1kg的小滑塊輕放在平板車的右端，滑塊與車面間的動摩擦因數為μ=0.2．整個過程中平板車在外力控制下始終保持速度v₀=4m/s水平向右做勻速直線運動．（取g=10m/s²，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.46）
（1）求小滑塊從放上平板車到滑離平板車左端所用的時間；
（2）當滑塊輕放到平板車右端的同時，對滑塊m施加一個水平向右的恒力F，要保證滑塊不能從平板車的左端掉下，恒力F大小應該滿足什么條件；
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用總時間應該在什么范圍內．

Answer 1

分析 （1）小滑塊運動中，受到的合外力為滑動摩擦力，則由牛頓第二定律和運動學公式小滑塊從放上平板車到滑離平板車左端所用的時間；
（2）由牛頓第二定律可求得滑塊運動的加速度，而當滑塊恰好到達小車的左端時恰好與小車速度相同，即可保證滑塊不從車的左端掉下，則由臨界條件可求得F的條件；
（3）由牛頓第二定律可求得滑塊有力作用和撤去拉力后的加速度，則由平均速度公式可求得滑塊的距離，由速度公式可求得小車的位移，由臨界條件可得出兩位移間的關系；則可求得力F作用的范圍

解答 解：（1）根據牛頓第二定律，滑塊的加速度
$a=\frac{μmg}{m}=μg$
滑塊相對車滑動的時間t，${x}_{車}^{\;}={v}_{0}^{\;}t$，${x}_{滑塊}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
滑塊相對車滑動的距離${x}_{車}^{\;}=L+{x}_{滑塊}^{\;}$
解得：t=3.7s（舍去），t=0.3s
（2）設恒力F取最小值${F}_{1}^{\;}$，滑塊加速度為${a}_{1}^{\;}$，此時滑塊恰好到達車的左端，則
滑塊運動到車左端的時間${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}$
由幾何關系有${x}_{車}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{1}^{\;}$，${x}_{滑塊}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$
滑塊相對車滑動的距離${x}_{車}^{\;}=L+{x}_{滑塊}^{\;}$
由牛頓定律有${F}_{1}^{\;}+μmg=m{a}_{1}^{\;}$
聯立上式代入數據解得：${t}_{1}^{\;}=0.5s$       ${F}_{1}^{\;}=6N$
則恒力F大小應滿足條件是F≥6N
（3）力F取最小值，當滑塊運動到車左端后為使滑塊恰不從右端滑出，相對車先做勻加速運動（設運動加速度為${a}_{2}^{\;}$，時間為${t}_{2}^{\;}$），
再做勻減速運動（設運動加速度大小為${a}_{3}^{\;}$，時間為${t}_{3}^{\;}$），到達車右端時，與車達共同速度，則有
${F}_{1}^{\;}-μmg=m{a}_{2}^{\;}$
$μmg=m{a}_{3}^{\;}$
對滑塊加速階段：${x}_{1}^{\;}={v}_{0}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$
減速階段：${x}_{2}^{\;}=（{v}_{0}^{\;}+{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}）{t}_{3}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{2}$
對車：${x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}=L+{v}_{0}^{\;}（{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}）$（也可以以平板車為參考系）
又因為：${a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{\;}$
聯立上式代入數據解得：${t}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{6}}{6}≈0.41s$
則力F的作用時間t應滿足${t}_{1}^{\;}≤t≤{t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}$，即0.5≤t≤0.91s
答：（1）小滑塊從放上平板車到滑離平板車左端所用的時間0.3s；
（2）當滑塊輕放到平板車右端的同時，對滑塊m施加一個水平向右的恒力F，要保證滑塊不能從平板車的左端掉下，恒力F大小應該滿足條件F≥6N；
（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從平板車上掉下，力F的作用總時間應該在0.5≤t≤0.91s范圍內

點評 本題中關鍵在于臨界條件的判定，要使滑塊能恰好不從車上掉下，則其臨界條件應為滑塊剛好到達左端，且速度相等