Question

（2013?保定一模）如圖所示，用折射率為

2

的透明物質做成內、外半徑分別為r_a=0.10m、r_b=0，20m）的空心球，內表面涂上能完全吸光的物質，不考慮光在介 質內部傳播時的反射光線．問：
（i）當一束平行光射向此球時，有一部分光被吸光物質吸收掉，求平行入射光束中的這部分光的橫截面積？
（ii）增大涂有吸光物質的內表面的半徑，使得進入此球的光全部被吸光物質吸收，則內表面的半徑應該變為多大？

Answer 1

分析：（i）作出經第一次折射后與空心球內殼相切的光線，由幾何知識求出折射角的正弦，根據折射定律，求出入射角的正弦，由幾何知識求出此平行光束在入射前的橫截面積．平行入射光束中的這部分光的橫截面積．
（ii）當內徑增大后，射向該球的上方邊界光線折射后與內圓相切的光線A′B′，作出光路圖，根據幾何知識分析和求解內表面的半徑應該變為多大．

解答：解：（i）不被內球吸收的邊界光線是與內圓相切的光線AB，如圖，
被吸收掉的光束面積為：S=πR²
根據折射定理得：n=

sini

sinr

根據幾何關系得：
R=r_bsini
r_a=r_bsinr
聯立解得：S=πn²r_a²=6.28×10²m²
（ii）當內徑增大后，射向該球的上方邊界光線折射后與內圓相切的光線A′B′，如圖．
根據折射定理得：n=

sini′

sinC

其中i′=90°
根據幾何關系得：
r_a′=r_bsinC
聯立解得：r_a′=

rb

n

=

0.2

2

=

2

10

m=0.1414m
答：（i）平行入射光束中的這部分 光的橫截面積為6.28×10²m²．
（ii）增大涂有吸光物質的內表面的半徑，使得進入此球的光全部被吸光物質吸收，則內表面的半徑應該變為0.1414m．

點評：解決本題的關鍵作出臨界光線，根據光路圖，通過折射定律和幾何關系進行求解．