Question

16．在高能物理研究中，粒子加速器起著重要作用，而早期的加速器只能使帶電粒子在高壓電場中加速一次，因而粒子所能達到的能量受到高壓技術的限制．1930年，Earnest O．Lawrence提出了回旋加速器的理論，他設想用磁場使帶電粒子沿圓弧形軌道旋轉，多次反復地通過高頻加速電場，直至達到高能量．圖甲為Earnest O．Lawrence設計的回旋加速器的示意圖．它由兩個鋁制D型金屬扁盒組成，兩個D形盒正中間開有一條狹縫；兩個D型盒處在勻強磁場中并接有高頻交變電壓．圖乙為俯視圖，在D型盒上半面中心S處有一正離子源，它發出的正離子，經狹縫電壓加速后，進入D型盒中．在磁場力的作用下運動半周，再經狹縫電壓加速；為保證粒子每次經過狹縫都被加速，應設法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運動的周期一致．如此周而復始，最后到達D型盒的邊緣，獲得最大速度后被束流提取裝置提取出．已知正離子的電荷量為q，質量為m，加速時電極間電壓大小恒為U，磁場的磁感應強度為B，D型盒的半徑為R，狹縫之間的距離為d．設正離子從離子源出發時的初速度為零．
（1）試計算上述正離子從離子源出發被第一次加速后進入下半盒中運動的軌道半徑；
（2）盡管粒子在狹縫中每次加速的時間很短但也不可忽略．試計算上述正離子在某次加速過程當中從離開離子源到被第n次加速結束時所經歷的時間；
（3）不考慮相對論效應，試分析要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動能可采用的措施．

Answer 1

分析 （1）根據動能定理求出粒子被第一次加速后的速度，根據洛倫茲力提供向心力，利用牛頓第二定律求出軌道的半徑．
（2）回旋加速器是利用電場加速和磁場偏轉來加速粒子，根據動能定理求出n次加速后的速度，根據勻變速直線運動的速度時間公式求出加速的時間，再求出粒子偏轉的次數，從而得出在磁場中偏轉的時間，兩個時間之和即為離開離子源到被第n次加速結束時所經歷的時間．
（3）根據回旋加速器的半徑，利用洛倫茲力提供向心力，求出最大速度，看最大速度有什么因素決定．

解答 解：（1）設正離子經過窄縫被第一次加速加速后的速度為v₁，由動能定理得$qU=\frac{1}{2}mv_1^2$
正離子在磁場中做勻速圓周運動，半徑為r₁，由牛頓第二定律得：$Bq{v_1}=m\frac{{{v_1}^2}}{r_1}$
由以上兩式解得：${r_1}=\sqrt{\frac{2mU}{{q{B^2}}}}$
（2）設正離子經過窄縫被第n次加速加速后的速度為v_n，由動能定理得：$nqU=\frac{1}{2}mv_n^2$
粒子在狹縫中經n次加速的總時間：${t_1}=\frac{v_n}{a}$（1分）；由牛頓第二定律：$q\frac{U}p9vv5xb5=ma$
由以上三式解得電場對粒子加速的時間：${t_1}=d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}$
正離子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律：$Bqv=m\frac{v^2}{r}$
又：$T=\frac{2πr}{v}$
粒子在磁場中做圓周運動的時間：${t_2}=（n-1）\frac{T}{2}$
由以上三式解得         ${t_2}=\frac{（n-1）πm}{qB}$
所以，粒子從離開離子源到被第n次加速結束時所經歷的時間$t=t_1^{\;}+{t_2}$=$d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}$+$\frac{（n-1）πm}{qB}$
（3）設離子從D盒邊緣離開時做圓周運動的軌跡半徑為r_m，速度為v_mr_m=R；　$Bq{v_m}=m\frac{{{v_m}^2}}{r_m}$
離子獲得的最大動能為：$E=\frac{1}{2}mv_m^2=\frac{{{q^2}{B^2}{R^2}}}{2m}$
所以，要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動能可以增大加速器中的磁感應強度B． 
答：（1）上述正離子從離子源出發被第一次加速后進入下半盒中運動的軌道半徑$\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$；
（2）正離子在某次加速過程當中從離開離子源到被第n次加速結束時所經歷的時間$d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}$+$\frac{（n-1）πm}{qB}$；
（3）要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動能可以增大加速器中的磁感應強度B．

點評 解決本題的關鍵知道帶電粒子在磁場中偏轉規律在回旋加強器的工作原理，利用磁場偏轉，電場加速．以及知道回旋加強器加速粒子的最大動能與什么因素有關進行分析，明確在電場和磁場中運動時間的計算方法．