Question

如圖所示，半徑R=0.8m的1/4光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，過最低點(diǎn)的半徑OC處于豎直位置，在其右方有一可繞豎直軸MN（與圓弧軌道共面）轉(zhuǎn)動(dòng)的，內(nèi)部空心的圓筒，圓筒半徑r=0.1

5

m，筒的頂端與C點(diǎn)等高，在筒的下部有一小孔，距筒頂h=0.8m，開始時(shí)小孔在圖示位置（與圓弧軌道共面）．現(xiàn)讓一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊自A點(diǎn)由靜止開始下落，打在圓弧軌道上的B點(diǎn)，但未反彈，在瞬間的碰撞過程中小物塊沿半徑方向的分速度立刻減為零，而沿圓弧切線方向的分速度不變．此后，小物塊沿圓弧軌道滑下，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)觸動(dòng)光電裝置，使圓筒立刻以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)起來，且小物塊最終正好進(jìn)入小孔．已知A點(diǎn)、B點(diǎn)到圓心O的距離均為R，與水平方向的夾角θ均為30°，不計(jì)空氣阻力，g取l0m/s²．試問：
（1）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小是多少？
（2）圓筒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度是多少？
（3）要使小物塊進(jìn)入小孔后能直接打到圓筒的內(nèi)側(cè)壁，筒身長(zhǎng) L至少為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求出小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度，將B點(diǎn)的速度沿徑向和切向分解，得出切向方向的速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小物塊在C點(diǎn)的速度大小．
（2）小物塊離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，抓圓筒在該段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為2nπ（n=1，2，3，…），求出圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度．
（3）根據(jù)圓筒的直徑求出物塊在圓筒中運(yùn)行的時(shí)間，從而得出平拋運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出物體下降的高度，即筒身的至少長(zhǎng)度．

解答：解：（1）根據(jù)vB2=2gR得，
vB=

2×10×0.8

=4m/s．
vB初=vBsin60°=4×

3

2

=2

3

m/s．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mvC2=mgR(1-cos60°)+

1

2

mvB初2
代入數(shù)據(jù)解得vc=2

5

m/s．
（2）由h=

1

2

gt12得，t1=

2h g

=0.4s
則ω=

2nπ

t1

=

2nπ

0.4

=5nπ   （n=1，2，3，…）                  
（3）t2=

2r

vC

=

2×0.1 5

2 5

s=0.1s
L=

1

2

g(t1+t2)2=

1

2

×10×(0.4+0.1)2=1.25m．
答：（1）小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小是2

5

m/s．
（2）圓筒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度是5nπ（n=1，2，3，…）                  
（3）要使小物塊進(jìn)入小孔后能直接打到圓筒的內(nèi)側(cè)壁，筒身長(zhǎng) L至少為1.25m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道平拋運(yùn)動(dòng)水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及抓住圓周運(yùn)動(dòng)的周期性求出圓筒的角速度．