Question

1．如圖所示，A、B是一對平行的金屬板，在兩板間加上一周期為T的交變電壓．B板的電勢φ_B=0，A板的電勢φ_A隨時間的變化規律為：在0～$\frac{T}{2}$時間內φ_A=U（正的常量）；在$\frac{T}{2}$～T時間內φ_A=-U．現有一電荷量為q、質量為m的帶負電粒子從B板上的小孔S處進入兩板間的電場區內，設粒子的初速度和重力均可忽略．
（1）若粒子是在t=0時刻進入的，且經過2T時間恰好到達A板，則A、B兩板間距d₁為多大？
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$時刻進入的，且經過$\frac{11T}{8}$時間恰好到達A板，則A、B兩板間距d₂為多大？
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$時刻進入的，且A、B兩板間距足夠大，則粒子經過多長時間離開電場？

Answer 1

分析 （1）電子在t=0時刻進入時，在一個周期內，前半個周期受到的電場力向上，向上做加速運動，后半個周期受到的電場力向下，繼續向上做減速運動，T時刻速度為零，接著周而復始，所以電子一直向B板運動，做出v-t圖象進行分析，根據牛頓第二定律和運動學公式列式求解；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$時刻進入的，在上一副圖上繼續做出v-t圖象分析，注意v-t圖象與時間軸包圍的面積表示位移大小；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$時刻進入的，同樣做出v-t圖象進行分析即可．

解答 解：（1）0-$\frac{T}{2}$內，向上做勻加速直線運動，加速度為：a=$\frac{qU}{mp9vv5xb5_{1}}$；
位移為：y₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{qU}{mp9vv5xb5_{1}}×（\frac{T}{2}）^{2}$；
結合分析中內容“在一個周期內，前半個周期受到的電場力向上，向上做加速運動，后半個周期受到的電場力向下，繼續向上做減速運動，T時刻速度為零，接著周而復始“，做出v-t圖象，如圖所示：

故前2T內的位移：y=4y₁=d₁；
聯立解得：d₁=$\sqrt{\frac{qU{T}^{2}}{2m}}$；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$時刻進入的，且經過$\frac{11T}{8}$時間恰好到達A板，畫出v-t圖象，如上圖中紅色的坐標軸所示：
v-t圖象與時間軸包圍的面積表示位移大小，故：
d₂=$\frac{1}{2}a（\frac{3}{8}T）^{2}×2-\frac{1}{2}a（\frac{T}{8}）^{2}×2+\frac{1}{2}a（\frac{2}{8}T）^{2}$=$\frac{21}{128}a{T}^{2}$=$\frac{21}{128}•\frac{qU}{mp9vv5xb5_{2}}•{T}^{2}$，
解得：d₂=$\sqrt{\frac{21qU{T}^{2}}{128m}}$；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$時刻進入的，做出v-t圖象，如圖所示：

顯然在$\frac{3}{8}T-\frac{T}{2}$向上勻加速運動，$\frac{T}{2}-\frac{5}{8}T$向上勻減速，$\frac{5}{8}T$開始向下勻加速，直到離開電場，根據位移公式，有：
0=$\frac{1}{2}a（\frac{T}{8}）^{2}$×2-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t=$\frac{\sqrt{2}}{8}T$；
答：（1）若粒子是在t=0時刻進入的，且經過2T時間恰好到達A板，則A、B兩板間距d₁為$\sqrt{\frac{qU{T}^{2}}{2m}}$；
（2）若粒子是在t=$\frac{T}{8}$時刻進入的，且經過$\frac{11T}{8}$時間恰好到達A板，則A、B兩板間距d₂為$\sqrt{\frac{21qU{T}^{2}}{128m}}$；
（3）若粒子是在t=$\frac{3T}{8}$時刻進入的，且A、B兩板間距足夠大，則粒子經過$\frac{\sqrt{2}}{8}T$時間離開電場．

點評 本題粒子的運動具有周期性，關鍵是畫出粒子運動的v-t圖象，結合牛頓第二定律和運動學公式列式分析，較難．