Question

8．小轎車以20m/s的速度在平直公路上勻速行駛，司機突然發現正前方有個收費站，若司機剎車使車勻減速恰好停在繳費窗口，繳費后勻加速到20m/s后繼續勻速前行．已知小轎車剎車時的加速度大小為2m/s²，停車繳費所用時間為30s，啟動時加速度為1m/s²．
（1）司機從開始剎車到恢復原速所需時間為多少？這一過程通過的位移是多少？
（2）因國慶放假期間，全國高速路免費通行，小轎車可以不停車通過收費站，但要求轎車通過收費窗口前9m區間速度不超過6m/s，則國慶期間該小轎車應離收費窗口多遠處開始剎車？因不停車通過最多可以節約多少時間？

Answer 1

分析 （1）轎車先減速后加速，根據速度時間公式和位移時間公式即可求得；
（2）分段研究，收費時總時間為：減速到0的時間，加上收費的時間，再加上加速到20m/s的時間．
不收費時的總時間為：減速到6m/s的時間，加上勻速運動的時間，加上加速到20m/s的時間，還要加上勻速運動的時間．
上述時間的差值即為節約的時間．

解答 解：（1）設司機減速、加速的位移分別為S_減、S_加，剎車和啟動的加速度大小分別為a₁，a₂
則其減速時間 t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{20}{2}s$=10s
停車繳費所用時間  t₂=30s
后加速時間  t₃=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{20}{1}$s=20s
所以司機從開始剎車到恢復原速所需時間為：t₁+t₂+t₃=10+30+20=60s
這一過程通過的位移是：S=S_減+S_加=$\frac{1}{2}$v₁t₁+$\frac{1}{2}$v₁t₃=100+200=300m
（2）轎車應該在收費窗口前9m處速度減為v₂=6m/s，則v₁²-v₂²=2as₁
得車減速位移：${s}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}{-v}_{2}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{2{0}^{2}-{6}^{2}}{2×2}m=91m$
所以，轎車應離收費窗口91+9=100m處開始剎車
若不停車收費也是在窗前100m開始剎車：
其減速時間為${t}_{4}=\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{20-6}{2}s=7s$
窗口前勻速時間：t₅=$\frac{{s}_{2}}{{v}_{2}}=\frac{9}{6}$=1.5s
窗口后加速到20m/s所用時間為：${t}_{6}=\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{2}}=\frac{20-6}{1}s=14s$
加速運動的位移為S₃=$\frac{1}{2}$（v₁+v₂）t₆=$\frac{1}{2}$×（20+6）×14=182m
之后勻速時間為t₇=$\frac{{s}_{甲}-{s}_{3}}{{v}_{1}}=\frac{200-182}{20}$s=0.9s
所以若不停車經過窗口前100m到窗口后200m的總時間為：
t₄+t₅+t₆+t₇=7+1.5+14+0.9=23.4s
所以不停車通過可以節約時間為60-23.4=36.6（s）的時間
答：（1）司機從開始剎車到恢復原速所需時間為60s，這一過程通過的位移是300m
（2）因不停車通過最多可以節約為36.6s

點評 分析問題時，一定要養成畫草圖分析問題的良好習慣．解題的基本思路是：①分別對兩物體進行研究；②畫出運動過程示意圖；③列出位移方程④找出時間關系，速度關系⑤解出結果，必要時進行討論．