Question

4．如圖所示，間距為L=0.45m的帶電金屬板M、N豎直固定在絕緣平面上，板間形成勻強電場，場強E=1.5×10⁴V/m．N板接地（電勢為零），其中央有一小孔，一根水平絕緣細桿通過小孔，其左端固定在極板M上．現有一質量m=0.05kg，帶電量q=+5.0×10^-6C的帶正電小環套在細桿上，小環與細桿之間的動摩擦因數為μ=0.1．小環以一定的初速度對準小孔向左運動，若小環與金屬板M發生碰撞，碰撞中能量不損失（即碰后瞬間速度大小不變）．設帶電環大小不計且不影響金屬板間電場的分布（g取10m/s²）．求：
（1）帶電小環以多大的初速度v₀進入電場，才能恰好到達金屬板M？
（2）若帶電小環以初速度v₁=1m/s進入電場，當其動能等于電勢能時，距離N板多遠？
（3）小環至少以多大的初速度v₂進入電場，它在電場中運動時找不到動能與電勢能相等的點？

Answer 1

分析 （1）小環進入電場后，在電場力與摩擦力共同作用下減速直到M板，速度變為零，根據動能定理即可求得初速度；
（2）帶電小環以初速度v₁=1m/s進入電場后先向左作減速運動，當其動能等于電勢能時，設它距離N板為x，根據動能定理即可求得x，還有一種情況，當小環運動到左邊最遠點并向右返回到小孔的過程中，也可能會出現動能等于電勢能．設它向左運動的最遠距離為d，根據動能定理即可求解；
（3）小環以初速度v₂進入電場后，若它運動到M板時的動能大于其電勢能，則它在電場中運動時找不到動能與電勢能相等的點．

解答 解：（1）小環進入電場后，在電場力和摩擦力共同作用下減速直到M板，速度變為零，根據動能定理有
$-qEL-μmgL=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2（qE+μmg）L}{m}}$=$\sqrt{\frac{2（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）×0.45}{o.05}}$=1.5m/s
（2）帶電小環以初速度${v}_{1}^{\;}=1m/s$進入電場后先向左做減速運動，當其動能等于電勢能時，設它距離N板為x，有
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-qEx-μmgx=qEx$
解得：$x=\frac{m{v}_{1}^{2}}{4qE+2μmg}$=$\frac{0.05×{1}_{\;}^{2}}{4×5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+2×0.1×0.05×10}$=0.125m
還有一種情況，當小環運動到左邊最遠點并向右返回到小孔的過程中，也可能會出現動能等于電勢能．設它向左運動的最遠距離為d，根據動能定理有
$-qEd-μmgd=0-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：$d=\frac{m{v}_{1}^{2}}{2（qE+μmg）}$=$\frac{0.05×{1}_{\;}^{2}}{2×（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）}$=0.2m
當其動能等于電勢能時，設它距離N板為y，有qE（d-y）-μmg（d-y）=qEy
解得$y=\frac{（qE-μmg）d}{2qE-μmg}$=$\frac{（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}-0.1×0.05×10）×0.2}{2×5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}-0.1×0.05×10}$=0.05m
（3）小環以初速度v₂進入電場后，若它運動到M板時的動能大于其電勢能，則它在電場中運動時找不到動能與電勢能相等的點
$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-（qE+μmg）L＞qEL$
得${v}_{2}^{\;}＞\sqrt{\frac{2（qE+μmg）L}{m}}$=$\sqrt{\frac{2（5.0×1{0}_{\;}^{-6}×1.5×1{0}_{\;}^{4}+0.1×0.05×10）×0.45}{0.05}}$=$\sqrt{3.6}m/s≈1.9m/s$
答：（1）帶電小環以初速度1.5m/s進入電場，才能恰好到達金屬板M；
（2）若帶電小環以初速度v₁=1m/s進入電場，當其動能等于電勢能時，距離N板的距離為0.125m或0.05m；
（3）小環至少以1.9m/s的初速度進入電場，它在電場中運動時找不到動能與電勢能相等的點．

點評 本題主要考查了動能定理在帶電離子電場中運動的應用，要求同學們能選取適當的過程運用動能定理解題，難度適中．