Question

如圖16-5-8所示，三個質量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上.現給中間的小球B一個水平初速度v₀，方向與繩垂直.小球相互碰撞時無機械能損失，輕繩不可伸長.求：

圖16-5-8

(1)當小球A、C第一次相碰時，小球B的速度；

(2)當三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度；

(3)運動過程中小球A的最大動能E_KA和此時兩根繩的夾角θ；

(4)當三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大小.

 

Answer 1

解析：根據題意，分析各狀態的速度、動量和能量特點，找出各過程遵循的規律，挖掘隱含條件是解決綜合性題目的關鍵.根據動量守恒定律、機械能守恒定律進行計算.

(1)設小球A、C第一次相碰時，小球B的速度為v_B，考慮到對稱性及繩的不可伸長特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為v_B，由動量守恒定律，得mv₀=3mv_B,由此解得v_b=v₀.

(2)當三個小球再次處在同一直線上時，則由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

mv₀=mv_B+2mv_A

mv₀²=mv_B²+2×mv_A²

解得v_B=-v₀,v_A=v₀(三球再次處于同一直線)  v_B=v₀,v_A=0(初始狀態，舍去)，所以，三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度為v_B=-v₀(負號表明與初速度反向).

(3)當小球A的動能最大時，小球B的速度為零.設此時小球A、C的速度大小為u，兩根繩間的夾角為θ(如下圖)，則仍由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

mv₀=2musin

mv₀²=2×mu²

另外，E_KA=mu²，由此可解得，小球A的最大動能為E_KA=mv₀²，此時兩根繩間夾角為θ=90°.

(4)小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運動，當三個小球處在同一直線上時，以小球B為參考系(小球B的加速度為0，為慣性參考系)，小球A(C)相對于小球B的速度均為v=|v_A-v_B|=v₀,所以，此時繩中拉力大小為F=m=m.