Question

（21分）如圖所示，傾角為θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一垂直斜面的擋板。質量為m=0.20kg的物塊甲緊靠擋板放在斜面上，輕彈簧一端連接物塊甲，另一端自由靜止于A點，再將質量相同的物塊乙與彈簧另一端連接，當甲、乙及彈簧均處于靜止狀態時，乙位于B點。現用力沿斜面向下緩慢壓乙，當其沿斜面下降到C點時將彈簧鎖定，A、 C 兩點間的距離為△L =0.06m。一個質量也為m的小球丙從距離乙的斜面上方L=0.40m處由靜止自由下滑，當小球丙與乙將要接觸時，彈簧立即被解除鎖定。之后小球丙與乙發生碰撞（碰撞時間極短且無機械能損失），碰后立即取走小球丙。當甲第一次剛要離開擋板時，乙的速度為v=2.0m/s。（甲、乙和小球丙均可看作質點，g取10m/s²）求：

（1）小球丙與乙碰后瞬間乙的速度大小。

（2）從彈簧被解除鎖定至甲第一次剛要離開擋板時彈簧彈性勢能的改變量。

Answer 1

解析：

（1）對小球丙從頂端滑至乙處的過程，由動能定理得：

mgLsinθ=mv₀²                            

解得v₀=2m/s

對小球丙和乙的碰撞過程，由于二者碰撞過程時間極短，所以碰撞過程小球丙和乙組成的系統沿斜面方向動量守恒。又由于二者碰撞過程沒有機械能損失，且小球丙和乙的質量相同，所以二者碰后交換速度，所以碰后乙的速度為：

v^/=v₀=2m/s 

 

（2）小球丙撤去后，乙先沿斜面向下運動，速度為零后再沿斜面向上運動，當甲第一次離開擋板時乙的速度為v=2m/s，設此時乙的位置為D。可得乙在此過程中做簡諧運動，以B為平衡位置，C與D關于B對稱。設D、A間距為x₁，A、B間距為x₂，B、C

間距為x₃。則有：

x₃= x₁+ x₂

乙在B點時，對于乙，有：mgsinθ=k x₁

乙在D點時，對于甲，有：mgsinθ=k x₂ 

已知：         x₂ + x₃ = △L 

聯立解得：x₁= x₂ =0.02 m

x₃=0.04m

 對于彈簧和乙組成的系統，從乙由C到D的過程中， 由機械能守恒定律得：

△E_p彈  = △E_p乙= mg（x₁+x₂+ x₃）sinθ= 0.08J 

即該過程中彈簧彈性勢能的改變量為0.08 J  （減少量）