Question

6．如圖所示，一個帶正電的粒子沿磁場邊界從A點射入左側磁場，粒子質量為m，電荷量為q，其中區域Ⅰ、Ⅲ內是垂直紙面向外的勻強磁場，左邊區域足夠大，右邊區域寬度為1.3d，磁感應強度大小均為B，區域Ⅱ是兩磁場間的無場區，兩條豎直虛線是其邊界線，寬度為d；粒子從左邊界線A點射入磁場后，經過Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區域后能回到A點，若粒子在左側磁場中的半徑為d，整個裝置在真空中，不計粒子的重力．
（1）分析粒子從A點射入方向？
（2）求粒子從A點射出到回到A點經歷的時間t；
（2）若其他條件不變，若在區域Ⅱ內加水平向右的勻強電場，粒子仍能回到A點，求電場強度E大小應滿足的條件？

Answer 1

分析 （1）關于粒子入射方向的判定，涉及到的數學知識比較多，根據左手定則粒子順時針方向做勻速圓周運動，可以假設以任意角入射，劃過一道圓弧后豎直向上偏離一定的距離，進入Ⅱ區做勻速直線運動也向上偏離一定的距離，進入Ⅲ區后做勻速圓周運動，就要豎直向下偏離一定的距離，離開Ⅲ再進入Ⅱ區時要豎直向上偏離，即三次向上，一次向下，對比向上和向下的總距離就可以知道偏離的總距離，只有總距離為零，才能回到A點．要注意的是由對稱性進入和離開磁場時與邊界的夾角均相同，總距離也不難求出．
（2）由（1）的結論，只有垂直入射才能回到A點．在兩個磁場區的總時間恰恰為做勻速圓周運動的一個周期，由洛侖茲力提供向心力和運動學公式能求出在磁場中的時間．在Ⅱ區內兩次做勻速直線運動，時間也能求出．
（3）若在Ⅱ區內加水平向的電場，則粒子進入后將加速，速度越大，進入Ⅲ區后做勻速圓周運動的半徑也越大，最大半徑為1.3d，所以最大速度也能求出，從而求出在Ⅱ區所加勻強電場的最大值．

解答 解：（1）若粒子入射與邊界向上的夾角為任意角α，如圖所示是粒子在三個區域的軌跡，
則粒子在Ⅰ區的軌跡是一段半徑為R的圓弧，由幾何關系在Ⅱ區做勻速直線運動運動后向上偏離：
x₁=dcotα+2Rcosα．
進入Ⅲ區后的運動軌跡也是半徑為R的一段劣弧，第二次進入Ⅱ區做勻速直線運動向上偏離的距離：
x₂=2Rsinα-dcotα．
要使粒子能回到A點，則x₁=x₂，由此得到只有：
cotα=0，則α=90°．
 
（2）由牛頓第二定律和運動學公式有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$       ①
$T=\frac{2πR}{v}$         ②
所以粒子在三個區域運動的總時間：
${t=t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{1}{2}T+2×\fracp9vv5xb5{{v}_{0}}+\frac{1}{2}T=\frac{2πm}{qB}+\frac{2d}{{v}_{0}}$
（3）粒子垂直進入Ⅱ區后經過電場加速，做勻加速直線運動以v的速度進入Ⅲ區做勻速圓周運動中，由幾何關系：
R≤1.3d             ④
在電場中加速時據運動定理：
$Edq=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$     ⑤
聯立以上①④⑤得：E≤$\frac{1.69{B}^{2}{q}^{2}p9vv5xb5^{2}-{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2qdm}$
答：（1）粒子從A點射入方向應該垂直于邊界．
（2）粒子從A點射出到回到A點經歷的時間為$\frac{2πm}{qB}+\frac{2d}{{v}_{0}}$．
（3）若其他條件不變，若在區域Ⅱ內加水平向右的勻強電場，粒子仍能回到A點，則電場強度E≤$\frac{1.69{B}^{2}{q}^{2}p9vv5xb5^{2}-{m}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{2qdm}$．

點評 本題的靚點在第（1）問，從經驗上看若不是垂直入射，則肯定不能回到A點，但從理論上推斷是否能回到A點，還需要從數學的角度求出向上和向下偏離的距離；另外還需要說明的是本題從頭到尾沒有告訴速度，粒子在Ⅱ區內做勻速直線運動的時間求不出來，所以本題差一條件，根據推斷應該差的是初速度，所以解題時設初速度是已知的．