Question

（9分）在物理學中，常常用等效替代、類比、微小量放大等方法來研究問題。如在牛頓發現萬有引力定律一百多年后，卡文迪許利用微小量放大法由實驗測出了萬有引力常量G的數值，圖所示是卡文迪許扭秤實驗示意圖。卡文迪許的實驗常被稱為是“稱量地球質量”的實驗，因為由G的數值及其他已知量，就可計算出地球的質量，卡文迪許也因此被譽為第一個稱量地球的人。

（1）若在某次實驗中，卡文迪許測出質量分別為m₁、m₂相距為r的兩個小球之間引力的大小為F，求萬有引力常量G；
（2）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，忽略地球自轉的影響，請推導出地球質量及地球平均密度的表達式。

Answer 1

試題分析：（1）根據萬有引力定律，    （2分）
得       （2分）
（2）設地球質量為M，在地球表面任一物體質量為m
在地球表面附近滿足 
得  GM=R²g
解得地球的質量       （3分）
地球的體積 
解得地球的密度      （2分）