Question

6．如圖所示，將質量為m的勻質細鐵鏈圈套在一個表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為α，設圓錐底面水平，鐵鏈圈平衡時在一平面上，該面與圓錐底面平行，則鐵鏈內的張力大小為$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$．

Answer 1

分析 取軟繩中很小的一段質量元進行分析，根據受力分析可求得張力與合力的關系；再由共點力的平衡條件可明確合力與重力之間的關系，聯立可求得鐵鏈內的張力．

解答 解：因為圓環受重力和圓錐體對圓環的作用力處于平衡，則圓錐體對圓環的作用力F等于圓環的重力mg，即F=mg．
設質量元△m兩端所受張力為T，其合力為F，因為它所對的圓心角θ很小，所以sinθ等價于θ，即為：
F=2Tsin（$\frac{θ}{2}$）≈2T•$\frac{θ}{2}$=Tθ
質量元受重力△mg、支持力N和張力的合力F而處于平衡狀態，由幾何知識可得：
F=△mgcot（$\frac{α}{2}$）=$\frac{θ}{2π}$mgcot（$\frac{α}{2}$）
聯立解得：T=$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$
故答案為：$\frac{mg}{2πtan\frac{α}{2}}$．

點評 本題采用微元法進行分析，要注意明確繩上的張力與彈力之間的關系；并能正確根據共點田力的平衡進行分析求解．