Question

13．如圖所示，在O點懸有一根長R的細繩，繩上端穿有一個小球B，小球能順著繩子下滑，下滑過程所受摩擦阻力是小球B的重力的k倍（k＜1）．在O點下方有一個半徑也為R的光滑圓弧軌道，圓心恰好在O點，圓弧的最低點是O′．在圓弧上非常接近O′處有另外一個小球A，小球A和B都可以視為質點．現將A、B兩球同時無初速釋放，已知A球第2次到達平衡位置時正好和B球相碰．求：
（1）從釋放到相碰經歷的時間t；
（2）k的大小．

Answer 1

分析 球A的運動是類似單擺運動，球B勻加速下降，運動具有等時性；先根據單擺周期公式得到時間，然后根據牛頓第二定律求解加速度，最后根據運動學公式列式求解．

解答 解：（1）球A的運動是類似單擺運動，A第一次擺到最低點時間為：t₁=$\frac{T}{4}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
A需要再經過半個周期才能第二次到達平衡位置，則：${t}_{2}=\frac{1}{2}T=π\sqrt{\frac{R}{g}}$
所以：t=t₁+t₂=$\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$
（2）對球B，就牛頓第二定律，有：mg-f=ma；
根據題意，有：f=kmg；
根據位移時間關系公式，有：R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$；
聯立以上四式可解得：k=$\frac{9{π}^{2}-8}{9{π}^{2}}$
答：（1）從釋放到相碰經歷的時間是$\frac{3π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$；
（2）k的大小是$\frac{9{π}^{2}-8}{9{π}^{2}}$．

點評 本題巧妙地將單擺模型和勻加速直線運動模型聯系在一起考慮，關鍵是運動時間相同，不難．