Question

如圖所示為放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L＝3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r＝1m，APD的半徑為R=2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為q＝37°�，F有一質量為m＝1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0的初動能從B點開始沿AB向上運動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數均為μ＝，設小球經過軌道連接處均無能量損失。（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：

（1）要使小球完成一周運動回到B點，初動能E_K0至少多大？

（2）若以題（1）中求得的最小初動能E_K0從B點向上運動，求小球第二次到達D點時的動能；

（3）若以題（1）中求得的最小初動能E_K0從B點向上運動，求小球在CD段上運動的總路程。

Answer 1

解析：（1）要使小球能夠向上運動并回到B點，有兩個臨界條件的要求：一是要使小球能夠通過圓弧APD的最高點，二是通過了圓弧APD的最高點后還能夠再次到達B點。所以：

若要使小球能夠通過圓弧APD的最高點，因為小球是穿在桿上，所以到達最高點時速度可以為0.由能量守恒得： 

              

（即小球在B點的初動=小球增加的重力勢能+因摩擦而發的熱）

假若僅使小球恰好到達B點，即到達B點時速度恰好為0，則由能量守恒：

      

所以，要使小球能再次回到B點，至少需要的初動能。

（2）當小球在B點以向上運動，再次回到B點時，小球的動能，由動能定理：

，所以：

 

假設小球經過B點后，還能沿AB上升，由動能定理：

解得： 

在AB桿上，由于，所以小球將再次下滑，在AB桿上因摩擦而發的熱：

當小球第二次回到D點時，由能量守恒得：

        

所以： 

（3）小球到達D點后，將沿光滑的圓弧面APB上升，但到不了最高點，將再次滑回D點，且。

假若要使小球還能夠返回B點，則要求在D點時具有的動能為：

；   

所以小球將無法再次回B點，而只能在光滑圓弧APD和BQC及DC間作來回往復的運動，最終小球將停在DC上，此時小滑在DC上滑過的總路程為，

由得：     

   

所以  

解析:

略