Question

13．蕩秋千是大家喜愛的一項體育運動．隨著科技迅速發展，將來的某一天，同學們也會在其他星球上享受蕩秋千的樂趣．假設你當時所在星球的質量為M，半徑為R，可將人視為質點，秋千質量不計、擺長不變、擺角小于90°，引力常量為G．那么：
（1）該星球表面附近時重力加速度g_星等于多少？
（2）若經過最低位置的速度為v₀，你對秋千的壓力是多少？

Answer 1

分析 （1）根據重力等于萬有引力列式求解；
（2）根據重力和支持力的合力提供圓周運動向心力列式求解．

解答 解：（1）據在星球表面附近的重力等于萬有引力，有：
$m{g}_{星}=G\frac{mM}{{R}^{2}}$
該星球的表面附近的重力加速度${g}_{星}=G\frac{M}{{R}^{2}}$
（2）人蕩到秋千最低點時，秋千對人的支持力和人的重力的合力提供圓周運動向心力有：
$N-m{g}_{星}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
所以秋千對人的支持力$N=m{g}_{星}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$=$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$
根據牛頓第三定律知，人對秋千板的壓力為$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$．
答：（1）該星球表面附近時重力加速度g_星等于$G\frac{M}{{R}^{2}}$；
（2）若經過最低位置的速度為v₀，你對秋千的壓力是$G\frac{mM}{{R}^{2}}+m\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$．

點評 在星球表面重力等于萬有引力，在豎直平面內做圓周運動，合力提供圓周運動向心力，注意求的是人對秋千板的壓力，要適當交代．