Question

6．如圖，質量為M=2Kg的足夠長金屬導軌abcd放在光滑的絕緣水平面上．一電阻不計、質量為m=2kg的導體棒PQ放置在導軌上，始終與導軌接觸良好，PQbc構成矩形．棒與導軌間動摩擦因數為μ=0.1，棒左側有兩個固定于水平面的立柱．導軌bc段長為L=0.5米，開始時PQ左側導軌的總電阻為R=1Ω，右側導軌單位長度的電阻為R₀=0.5Ω/m．以ef為界，其左側勻強磁場方向豎直向上，右側勻強磁場水平向左，磁感應強度大小均為B=20T．在t=0時，一水平向左的拉力F垂直作用在導軌的bc邊上，使導軌由靜止開始做勻加速直線運動，加速度為a=2m/s²．
（1）求回路中感應電流隨時間變化的表達式；
（2）經過多長時間拉力F達到最大值，拉力F的最大值為多少？
（3）某過程中回路產生的焦耳熱為Q=20J，導軌克服摩擦力做功為W_f=4J，求導軌動能的增加量．

Answer 1

分析 （1）電磁感應定律求電動勢，勻變速運動求速度，由閉合電路歐姆定律求出感應電流隨時間變化的表達式；
（2）對導軌受力分析，牛頓第二定律求F得最大值；
（3）由動能定理求導軌動能的增加量．

解答 解：（1）對桿發電：E=BLv，
導軌做初速為零的勻加速運動，v=at，
E=BLat，
s=$\frac{1}{2}$at²
對回路：閉合電路歐姆定律：
$I=\frac{BLV}{{R}_{總}}=\frac{BLat}{R+2{R}_{0}（\frac{1}{2}a{t}^{2}）}=\frac{BLat}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
（2）導軌受外力F，安培力F_A摩擦力f．其中
對桿受安培力：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
F_f=μF_N=μ（mg+BIL）=μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$）
由牛頓定律F-F_A-F_f=Ma
F=Ma+F_A+F_f=Ma+μmg+（1+μ）$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
上式中當：$\frac{R}{t}$=R₀at
即t=$\sqrt{\frac{R}{a{R}_{0}}}$時，外力F取最大值，
F _max=Ma+μmg+$\frac{1}{2}$（1+μ）B²L²$\sqrt{\frac{a}{R{R}_{0}}}$，
代入數據得：F _max=107 N
（3）設此過程中導軌運動距離為s，
由動能定理，W_合=△Ek     W_合=Mas．  
由于摩擦力F_f=μ（mg+F_A），
所以摩擦力做功：W_f=μmgs+μW_A=μmgs+μQ，
s=$\frac{{W}_{f}-μQ}{μmg}$，
△E_k=Mas=$\frac{{W}_{f}-μQ}{μmg}Ma$
代入數據得：△E_k=4J．
答：（1）回路中感應電流隨時間變化的表達式為$I=\frac{BLat}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$；
（2）經過$\sqrt{\frac{a}{R{R}_{0}}}$時間拉力F達到最大值，拉力F的最大值為107N；
（3）導軌動能的增加量為4J．

點評 考查了電磁感應定律產生電動勢、電流隨時間變化的規律，解答時要注意回路中的電阻也時間在變化，要正確分析導軌的受力情況，運用電磁感應定律和力學規律解決電磁感應與力學的綜合問題．