Question

【題目】

如圖所示，在0≤x≤a、0≤y≤范圍內有垂直于xy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．坐標原點O處有一個粒子源，在某時刻發射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內，與y軸正方向的夾角分布在0～范圍內．己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到a之間，從發射粒子到粒子全部離開磁場經歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一．求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的：

（1）速度的大小；

（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意，粒子運動時間最長時，其回旋的角度最大，畫出運動軌跡，根據幾何關系列出方程求解出軌道半徑，再根據洛倫茲力提供向心力得出速度大��；（2）最后離開磁場的粒子，其運動時間最長，即為第一問中軌跡，故可以根據幾何關系列出方程求解出其速度方向與y軸正方向夾角的正弦．

設粒子的發射速度為v，粒子做圓周運動的軌道半徑為R，根據洛倫茲力提供向心力，得

解得

當＜R＜a時，在磁場中運動的時間最長的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切，如圖所示，設該粒子在磁場中運動的時間為t，依題意t=，回旋角度為∠OCA=，設最后離開磁場的粒子的發射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關系得

sin2α+cos2α=1

解得

故最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的速度大小為．

（2）由第一問可知，最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的速度方向與y軸正方向夾角的正弦為．