Question

17．如圖所示：一個$\frac{3}{4}$圓弧形光滑圓管軌道ABC，放置在豎直平面內，軌道半徑為R，在A 點與水平地面AD相接，地面與圓心O等高，MN 是放在水平地面上長為3R、厚度不計的減振墊，左端M正好位于A點．一個質量為m的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，若不考慮空氣阻力，小球可看作質點，那么以下說法中正確的是（　　）

• A． 要使球能從C點射出后能打到墊子上，則球經過C點時的速度至少為$\sqrt{gR}$
• B． 要使球能從C點射出后能打到墊子上，則球經過C點時的速度至少為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
• C． 若球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，則球經過C點時對管的作用力大小為$\frac{mg}{2}$，方向向下
• D． 要使球能通過C點落到墊子上，球離A點的最大高度是2.5R

Answer 1

分析 要使球能從C點射出后能打到墊子上，小球平拋運動的水平位移最大為4R，最小為R，根據平拋運動的規律和機械能守恒定律結合求解．

解答 解：AB、要使球能從C點射出后能打到墊子上，從C點開始做平拋運動，豎直分位移為R，水平分位移設為x，故有：
  R=$\frac{1}{2}$gt²；
  x=v_Ct
其中：4R≥x≥R
解得：$\sqrt{\frac{gR}{2}}$≤v_C≤$\sqrt{8gR}$，即球經過C點時的速度至少為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$．故A錯誤，B正確；
C、若球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，由上知，球在C點的速度為$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
在C點，重力和支持力的合力提供向心力，設支持力向下，根據牛頓第二定律，有：
  N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N=-$\frac{1}{2}$mg，負號表示N的方向向上；根據牛頓第三定律知，球對管的作用力大小大小為$\frac{mg}{2}$，方向向下．故C正確．
D、要使球能通過C點落到墊子上N點，球離A點的高度最大，由上可知球在C點的速度為$\sqrt{8gR}$，根據動能定理，有：
   mgh=mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，解得：h=5R，故D錯誤．
故選：BC

點評 本題關鍵明確小球的運動規律，知道小球經過C點的向心來源：合外力，明確隱含的臨界條件，結合牛頓第二定律、向心力公式、平拋運動的分運動公式和機械能守恒定律列式求解．