Question

6．如圖所示，有一原長x=0.5m、勁度系數k=100N/m的輕質彈簧穿過一光滑金屬桿，彈簧一端固定在金屬桿的一端點O，另一端與穿過金屬桿的小球相連，小球質量m=1kg，整個裝置在豎直平面內繞O點轉動．
（1）當小球在最低點速度v₀=4m/s時，求彈簧的彈力
（2）當小球在最高點速度v₁=1m/s時，求彈簧的彈力．
（3）若小球在最低點速度為4m/s，一段時間后小球以v₂=$\sqrt{21}$m/s的速度經過最高點，則在這個過程中桿對系統做了多少功？

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，根據向心力公式可求解形變量，再由胡克定律求解彈力；
（2）在最高點時要注意明確彈簧的形變方向，再由向心力公式及胡克定律進行分析求解．
（3）求最高點時彈簧的形變量，再由功能關系求桿對系統做的功．

解答 解：（1）當小球通過最低點時，小球受重力和彈簧的拉力，設彈簧的伸長量為x₁，則有：
    kx₁-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
而 R=x+x₁
代入解得：x₁=0.3m；R=0.8m
彈力 F=kx₁=100×0.3=30N；
（2）當小球通過最高點速度為1m/s時，設形變量為x₂，則有：
  kx₂+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$；
又 R′=x+x₂；
代入解得：x₂為負值，說明彈簧不能伸長，只能壓縮，故彈簧彈力應豎直向上；
則有：mg-kx₂=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R′}$；
又 R′=x-x₂；
代入解得：x₂=0.076m；
則彈簧的彈力為 F=Kx₂=100×0.076=7.6N；
（3）設小球以v₂=$\sqrt{21}$m/s的速度經過最高點時彈簧的形變量為x₃．
根據牛頓第二定律有
   kx₃+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R″}$；
又 R″=x+x₃；
聯立解得 x₃=0.2m，R″=x+x₃=0.7m
由功能關系可得：
桿對系統做功 W=mg（R+R″）+（$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$）-（$\frac{1}{2}k{x}_{3}^{2}$-$\frac{1}{2}k{x}_{1}^{2}$）
代入數據解得 W=15J
答：
（1）彈力為30N；方向向上．
（2）彈力為7.6N，方向向下．
（3）在這個過程中桿對系統做了15J的功．

點評 本題考查向心力公式及胡克定律，解題中一定要注意明確彈簧的總長度是變化的，小球轉動半徑是不同的．