Question

如圖所示，某同學仿照“過山車”軌道為一個質量m=0.1kg小滑塊設計了軌道．AB為一較長的斜面軌道，與小滑塊間的動摩擦因數?=0.2，其它軌道光滑．AB軌道與水平軌道BC成θ=45°，且與BC平滑連接（不計通過B點時的動能損失）．小滑塊從AB軌道高H=1m處由靜止滑下，滑入軌道BC，后從C點進入半徑R=0.2m 圓形軌道內側，轉動一周后從C點滑出，再沿水平軌道CE繼續運動，最后從E點飛出，落入水平軌道下方h=0.2m的淺槽FG中，淺槽的高度不計，長度L=1.0m． g取10m/s²，小滑塊在運動過程中可視為質點．



（1）小滑塊到達斜面底端B時速度大小
（2）小滑塊到達圓軌道最高點D時對軌道的壓力大小
（3）若要小滑塊按設計要求完成全部運動，該同學無初速釋放小滑塊的初始高度應
滿足怎樣的條件？

Answer 1

（1）小球從A到B的過程中，由動能定理可得
mgH-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvB2
得  V_B=4m/s 
（2）小球到D時，從釋放點到D點由動能定理可得：
mg(H-2R)-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvD2
在最高點，軌道對球向下的支持力為N，有
N+mg=

mvD2

R

得  N=3N 
由牛頓第三定律知，滑塊經D點時對軌道的壓力大小為N′=3N
（3）設小球恰可以到達圓軌道的最高點，對應的高度為H₁，
由圓周運動的規律可知，最高點時的速度v_D2
vD2=

gR

mg(H1-2R)-μmgcosθ×

H1

sinθ

=

1

2

mvD22
得H₁=0.625m
設小球恰可以到達槽右端，對應的高度為H₂
因為t=

2h g

所以vE=

L

t

=

L

2h g

小球從A到E的過程中，由動能定理：
mgH2-μmgcosθ×

H2

sinθ

=

1

2

mvE2
得：H2=

25

16

m=1.5625m
故釋放小球的高度范圍為：
0.625m≤H≤1.5625m．
答：（1）小滑塊到達斜面底端B時速度大小為4m/s．
（2）小滑塊到達圓軌道最高點D時對軌道的壓力大小為3N．
（3）若要小滑塊按設計要求完成全部運動，該同學無初速釋放小滑塊的初始高度H范圍為：0.625m≤H≤1.5625m．