Question

15．如圖所示，一質量為M=4.0kg的平板車靜止在粗糙水平地面上，其右側某位置有一障礙物A，一質量為m=2.0kg可視為質點的滑塊，以v₀=10m/s的初速度從左端滑上平板車，同時對平板車施加一水平向右的恒力F使平板車向右做加速運動．當滑塊運動到平板車的最右端時，二者恰好相對靜止，此時撤去恒力F，小車在地面上繼續運動一段距離L=4m后與障礙物A相碰．碰后，平板車立即停止運動，滑塊水平飛離平板車后，恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑，測得通過C點時對軌道的壓力為86N．已知滑塊與平板車間的動摩擦因數μ₁=0.5、平板車與地面間μ₂=0.2，圓弧半徑為R=1.0m，圓弧所對的圓心角∠BOD=θ=106°．取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．試求：

（1）AB之間的距離；
（2）作用在平板車上的恒力F大小及平板車的長度．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律，結合對軌道的壓力求出C點的速度，根據動能定理求出B點的速度，對B點的速度進行分解，求出豎直分速度和水平分速度，結合平拋運動的規律求出AB之間的距離．
（2）根據牛頓第二定律求出撤去拉力后的加速度，結合速度位移公式求出物塊與平板車達到的共同速度，根據牛頓第二定律和運動學公式，結合相對位移的大小求出平板車的長度，以及拉力的大小．

解答 解：（1）對小物塊在C點由牛頓第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
代入數據解得${v}_{C}=\sqrt{33}$m/s．   
 從B到C，由動能定理有：$mgR（1-cos53°）=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數據解得v_B=5m/s，
在B點，由幾何關系有：v_y=v_Bsin53°=5×0.8m/s=4m/s，v=v_Bcos53°=5×0.6m/s=3m/s．
從A到B，設小物塊作平拋運動的時間為t，則有：v_y=gt得，t=$\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{4}{10}s=0.4s$，
則AB之間的水平距離x=vt=3×0.4m=1.2m．
（2）設物塊與平板車達共同速度v_共后，物塊與平板車一起向右減速滑行，設此過程加速度大小為a，則：$a=\frac{{μ}_{2}（M+m）g}{M+m}={μ}_{2}g=0.2×10m/{s}^{2}$=2m/s²．
由${v}^{2}-{{v}_{共}}^{2}=-2aL$得，代入數據解得v_共=5m/s．
對物塊，沖上平板車后做加速度大小為a₁的勻減速運動，對平板車，物塊沖上后做加速度大小為a₂的勻加速運動，經時間t₁達共同速度v_共．
依題意對小物塊有：${a}_{1}={μ}_{1}g=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
由v_共=v₀-a₁t₁得，代入數據解得t₁=1s．
對平板車：v_共=a₂t₁，解得${a}_{2}=\frac{5}{1}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$，
根據牛頓第二定律得，F+μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂，代入數據解得F=22N．
小物塊的位移：${x}_{物}=\frac{{v}_{0}+{v}_{共}}{2}{t}_{1}=\frac{10+5}{2}×1m=7.5m$，
平板車的位移：${x}_{車}=\frac{{v}_{共}}{2}{t}_{1}=\frac{5}{2}×1m=2.5m$，
所以小車的長度L=x_物-x_車=7.5-2.5m=5m．
答：（1）AB之間的距離位1.2m；
（2）作用在平板車上的恒力F大小為22N，平板車的長度為5m．

點評 分析清楚滑塊在每個過程的運動狀態，根據物體的運動的過程來逐個求解，本題中用到了勻變速直線運動、平拋運動和圓周運動的規律，涉及的知識點較多，要求學生要熟練的應用每一部分的知識．