Question

（20分）一宇宙人在太空（那里萬有引力可以忽略不計）玩壘球。遼闊的太空球場半側(cè)為均勻電場E，另半側(cè)為均勻磁場B，電場和磁場的分界面為平面，電場方向與界面垂直，磁場方向與垂直紙面向里。宇宙人位于電場一側(cè)距界面為h的P點(diǎn)， O點(diǎn)是P點(diǎn)至界面垂線的垂足，D點(diǎn)位于紙面上O點(diǎn)的右側(cè)，OD與磁場B的方向垂直，OD = d 。如圖所示，壘球的質(zhì)量為m，且?guī)в须娏? q（q＞0）。

（1）宇宙人是否可能自P點(diǎn)以某個適當(dāng)?shù)耐渡浣牵ㄅc界面所成的θ角）及適當(dāng)?shù)某跛俣?IMG height=20 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090722/20090722110949002.gif' width=17>投出壘球，使它經(jīng)過D點(diǎn)，然后歷經(jīng)磁場一次自行回至P點(diǎn)？試討論實(shí)現(xiàn)這一游戲，d必須滿足的條件并求出相應(yīng)的和。

（2）若宇宙人從P點(diǎn)以初速度平行與界面投出壘球，要使壘球擊中界面上的某一D點(diǎn)，初速度的指向和大小應(yīng)如何？

Answer 1

解析：

（1）首先建立直角坐標(biāo)系。使x與OD重合，y與OP重合。球有平拋、斜向上和斜下拋三情形。若球投向y軸的右側(cè)，當(dāng)球達(dá)到分界面上的D的速度為，與x軸的夾角為，球沿半徑為R的圓周運(yùn)動，達(dá)到界面的，又從回到拋出點(diǎn)。

   （1）

  （2）

球在電場區(qū)的加速度為a，

   （3）

+，-分別表示在P點(diǎn)斜上拋與斜下拋的情況。設(shè)球從拋出點(diǎn)到D的時間為，則：

    （4）

      （5）

  將（2）（5）代入（4） 

得：   （6）

因（3）和（6）必須是實(shí)數(shù)，所以有   （7）

（a）若  （8）

則由（3）和（6）得，，即（9）

 （10）

（b）若  （11）

則

（c）時候無論怎樣都不能回到出發(fā)點(diǎn)。

（2）擊中D點(diǎn)有三種方式

（a）從P點(diǎn)拋出后經(jīng)過電場區(qū)，直接到D點(diǎn)，若所經(jīng)歷的時間為t，則由

，

得：                                  

（2）從拋出點(diǎn)“下落”然后經(jīng)過磁場回轉(zhuǎn)，又由電場區(qū)斜上拋，如此循環(huán)，歷經(jīng)磁場n次循環(huán)，最終在電場區(qū)斜上拋到D。設(shè)自P點(diǎn)平拋的水平射程，球經(jīng)磁場回旋一次，在x軸方向倒退

從D₂出磁場后經(jīng)電場區(qū)斜上拋運(yùn)動，球在x軸方向前進(jìn)，如此經(jīng)n次循環(huán)后從電場區(qū)達(dá)到D，有

求得：

若拋出點(diǎn)的初速度為，有，

求得： 

（c）從拋出點(diǎn)“下落”然后經(jīng)過磁場回轉(zhuǎn)，又由電場區(qū)斜上拋，如此循環(huán)，歷經(jīng)磁場n次循環(huán)，最終在磁場區(qū)到D。設(shè)自P點(diǎn)平拋的水平射程，球經(jīng)磁場回旋一次，在x軸方向倒退

從D₂出磁場后經(jīng)電場區(qū)斜上拋運(yùn)動，球在x軸方向前進(jìn)，如此經(jīng)n次循環(huán)后從電場區(qū)達(dá)到D，有 

若拋出點(diǎn)的初速度為，有，

求得：