Question

如圖所示，質量為m的小球用長度為L的輕質細繩懸掛于O點，現將它拉至A處，使細繩與豎直方向的夾角為θ（θ＜5°），然后無初速釋放，不計空氣阻力作用，它經過一段時間第一次到達最低點B．
求：（1）所經歷的時間t
（2）該過程中重力產生的沖量大小I_G
（3）該過程中小球的動量變化△P
（4）該過程中繩的拉力產生的沖量大小I_F．

Answer 1

分析：1、由A到B做簡諧運動，由A第一次到B，小球所用時間是四分之一周期，根據單擺的周期公式可求得時間．
2、重力是恒力，故可以直接運用沖量的定義式計算：I_G=mgt，把上一問中的時間代入即可．
3、從A到B，運用動能定理

1

2

m

v

2 B

=mgL（1-cosθ），計算出到達B點的速度v，再根據：△P=P_B-P_A=mv計算即可．
4、從A到B的過程中，根據動量定理有

IG

+

IF

=

△P

．動量的改變量方向水平，重力的沖量方向向下，所以I_G、I_F、△P剛好構成直角三角形，I_G、△P為兩個直角邊，I_F為斜邊，根據勾股定理有IF2=△P2+IG2，代入數據計算即可．

解答：解：（1）由單擺的周期公式可得：
T=2π

L g

--------------------------------①
由A第一次到B，小球所用時間是四分之一周期，即：t=

1

4

T=

π

2

L g

------②
（2）由于重力是恒力，由沖量定義可知重力的沖量為：I_G=mgt=

1

2

πm

Lg

----------------③
（3）動量的變化等于末動量減去初動量：△P=P_B-P_{A------------------------------}④
又P_A=0--------------------------------⑤
P_B=mv_B---------------------------------⑥
從A到B的過程中，由機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 B

=mgL（1-cosθ）--------------⑦
由④⑤⑥⑦，可解得：△P=m

2gL(1-cosθ)

------------------⑧
（1）從A到B的過程中，小球在重力和繩的拉力的沖量作用下，動量的改變量為△P，且方向水平，又因重力的沖量方向向下，所以由矢量的合成法則得：
IF2=△P2+IG2----------------------------⑨
由③⑧⑨式得：I_F=m

2gL(1-cosθ)+ π2 4 gL

．
答：（1）所經歷的時間t為

π

2

L g

．
（2）該過程中重力產生的沖量大小I_G為

1

2

πm

Lg

．
（3）該過程中小球的動量變化△P為m

2gL(1-cosθ)

．
（4）該過程中繩的拉力產生的沖量大小I_F為m

2gL(1-cosθ)+ π2 4 gL

．

點評：本題的關鍵是要知道小球在重力和繩的拉力的沖量作用下，動量的改變量方向水平，重力的沖量方向向下，所以I_G、I_F、△P剛好構成直角三角形，I_G、△P為兩個直角邊，I_F為斜邊，根據勾股定理有IF2=△P2+IG2．