Question

如圖（a）所示，有兩級光滑的絕緣平臺，高一級平臺距離絕緣板的中心O的高度為h，低一級平臺高度是高一級平臺高度的一半．絕緣板放在水平地面上，板與地面間的動摩擦因數為μ，一輕質彈簧一端連接在絕緣板的中心，另一端固定在墻面上．邊界GH左邊存在著正交的勻強電場和交變磁場，電場強度為E，磁感應強度變化情況如圖（b）所示，磁感強度大小均為B．有一質量為m、帶負電的小球從高一級平臺左邊緣以一定初速滑過平臺后垂直于邊界GH進入復合場中，設小球剛進入復合場時磁場方向向外且為正值．小球運動至O點處恰好與絕緣板發生彈性正碰，碰撞后小球恰能垂直于邊界GH返回低一級平臺上，而絕緣板向右從C點運動到D點，C、D間的距離為S，求：
（1）交變磁場變化的周期T；
（2）小球從高一級平臺左邊緣滑上的初速度v；
（3）絕緣板的質量M；
（4）絕緣板從C點運動至D點時，彈簧具有的彈性勢能E_P．

Answer 1

【答案】分析：（1）帶電小球進入復合場做勻速圓周運動，重力與電場力平衡，可得到場強．小球在t=T時刻進入復合場，與物塊碰后做勻速圓周運動，恰能垂直于邊界GH返回低一級平臺上，返回低一級臺階的過程，磁場方向與小球進入復合場時磁場方向相反，說明小球從高一級平臺進入復合場到與物塊碰撞經過的時間等于，由小球做勻速圓周運動的周期公式T′=即可求出交變磁場變化的周期T；
（2）小球在復合場中由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律求解小球從高一級平臺左邊緣滑出的初速度v；
（3）小球與絕緣板的碰撞是彈性碰撞，系統動量守恒，機械能也守恒，根據守恒定律列方程后聯立求解即可；
（4）根據牛頓第二定律求出小球與物塊碰后的速率，根據能量守恒求出物塊獲得的動能，并由能量守恒求解絕緣物塊從C點運動至D點時，彈簧具有的彈性勢能E_p．
解答：解：（1）帶電小球垂直于邊界GH進入復合場，運動到O點恰與絕緣板碰撞，碰后能返回平臺，說明小球在復合場中qE=mg--------①
洛侖茲力做勻速圓周運動的向心力，且經過半個圓周到達O點，碰后再經過半個周期回到二級平臺．
根據帶電粒子在磁場運動的周期公式 T=------------------------②
①②消去q，得交變磁場變化的周期 T=--------------------------
（2）由牛頓第二定律有：qvB=m------------------------------③
由幾何關系有：r=----------------------------------④
①③④聯立，解得：v=-----------------------------------⑤
（3）設小球碰撞后的速度大小為V，絕緣板的速度大小為V_m．則題意可知，小球返回的半徑r′==，又根據r=可得：則V=--------⑥
小球與絕緣板碰撞過程中，以小球和絕緣板為系統，動量守恒．
有：mv=-mV+MV_m------------------------------------⑦
而小球與絕緣板發生的是彈性碰撞，它們構成的系統機械能守恒，有：
有：mv²=mV²+MV_m²--------------------------------⑧
⑤⑥⑦聯立解得：M=3m----------------------------------------⑨
（4）絕緣板從C點運動至D點的過程中，根據功能關系有：
E_P+μMgS=MV_m²------------------------------------⑩
①③⑤⑥⑦⑨⑩聯立解得：E_P=-3μmgS
答：（1）交變磁場變化的周期T為；
（2）小球從高一級平臺左邊緣滑上的初速度v為；
（3）絕緣板的質量M為3m；
（4）絕緣板從C點運動至D點時，彈簧具有的彈性勢能為-3μmgS．
點評：本題考查洛侖茲力、動量守恒、機械能守恒、功能原理等等知識，考查學生綜合分析帶電粒子在復合場運動和碰撞問題等能力．本題空間思維能力要求高，信息量多，沒有分清物理情景是不可能作出正確的計算的．在處理問題時既要注意摸清過程，又要分清物體在各點的狀態，運用正確的公式列式，才能取得成效，實是一道不錯的壓軸題．