Question

如圖示，勁度系數為k的輕質彈簧一端與墻固定，另一端與傾角為θ的斜面體小車連接，小車置于光滑水平面上，在小車上疊放一個物體，已知小車質量為M，物體質量為m，小車位于O點時，整個系統處于平衡狀態．現將小車從O點拉到B點，令OB=b，無初速度釋放后，小車在水平面B、C間來回運動，物體和小車之間始終沒有相對運動．求：
（1）小車運動到B點時物體m所受到的摩擦力大小和方向．
（2）b的大小必須滿足什么條件，才能使小車和物體在一起運動過程中，在某一位置時，物體和小車之間的摩擦力為零．

Answer 1

分析：（1）小車運動到B點時，先對M和m整體受力分析后根據牛頓第二定律求解出加速度，然后對m，受力分析后根據牛頓第二定律列式求解摩擦力；
（2）在某一位置時，物體和小車之間的摩擦力為零，此時m受重力和支持力，合力向右，故一定是在平衡位置左側；然后分別對整體和m根據牛頓第二定律列式求解即可．

解答：解：（1）取M、m和彈簧組成的系統為研究對象，由牛頓第二定律：kb=（M+m）a （加速度a和摩擦力f是小車在B點時的瞬時值）；
所以a=

kb

M+m

；
取m為研究對象，受重力、支持力和摩擦力（沿斜面向上 ），在沿斜面方向有：f-mgsinθ=macosθ；
解得f=mgsinθ+

kbmcosθ

M+m

；
（2）當物體和小車之間的摩擦力的零時，小車的加速度變為a'，小車距O點距離為 b'，
取m為研究對象，有：mgsinθ=ma'cosθ
取M、m和彈簧組成的系統為研究對象，有：kb'=（M+m）a'
以上述兩式聯立解得：b'=

(M+m)gtanθ

k

；
由于簡諧運動具有對稱性，故b=b′=

(M+m)gtanθ

k

；
答：（1）小車運動到B點時物體m所受到的摩擦力大小為mgsinθ+

kbmcosθ

M+m

，方向為沿斜面向上；
（2）b的大小大于或等于

(M+m)gtanθ

k

時，才能使小車和物體在一起運動過程中，在某一位置時，物體和小車之間的摩擦力為零．

點評：本題關鍵先根據整體法求解加速度，然后再隔離m受力分析并根據牛頓第二定律列式求解，不難．