Question

【題目】如圖所示，在豎直平面內建立直角坐標系xOy，在x<0區域內存在一圓形的勻強磁場，圓心O1坐標為（-d，0），半徑為d，磁感應強度大小為B，方向與豎直平面垂直，x≥0區域存在另一磁感應強度大小也為B的勻強磁場，方向垂直于紙面向里。現有兩塊粒子收集板如圖所示放置，其中的端點A、B、C的坐標分別為（d，0）、（d，）、（3d，0），收集板兩側均可收集粒子。在第三象限中，有一寬度為2d粒子源持續不斷地沿y軸正方向發射速率均為v的粒子，粒子沿x軸方向均勻分布，經圓形磁場偏轉后均從O點進入右側磁場。已知粒子的電荷量為+q，質量為m，重力不計，不考慮粒子間的相互作用，求：

(1)圓形磁場的磁場方向；

(2)粒子運動到收集板上時，即刻被吸收，求收集板上有粒子到達的總長度；

(3)收集板BC與收集板AB收集的粒子數之比。

Answer 1

【答案】(1)垂直紙面向外；(2) (3)1:1

【解析】

(1)粒子帶正電且在圓形磁場中向右偏轉，可知磁場方向垂直紙面向外；

(2)利用旋轉圓可以知道，粒子平行于Y軸射入圓形磁場中，且都從同一點O射入右邊的磁場中，則粒子運動的軌跡圓半徑必與圓形磁場的半徑是相同的，即為d；粒子進入右邊磁場后，因為磁感應強度也為B，可知粒子在右邊磁場中運動時的圓軌跡半徑也為r=d；

打在AB收集板上的臨界情況分別是軌跡圓與AB板相切，即沿x軸正方向射入的粒子，和粒子剛好過A點的粒子，故AB板上粒子打的區域長度為d。

而粒子只有從第四象限進入右邊磁場才有可能打在收集板BC上。

根據幾何關系可得，粒子剛好經過A點時，軌跡圓圓心O2和原點O以及A點構成一個正三角形，可得：粒子與x軸正方向成30°向下。此時粒子剛好打到BC板上的P1點。

由幾何關系可知OAP1O1為菱形，且AP1與BC垂直，則由幾何關系可得，

粒子在板上打的最遠距離是當直徑作為弦的時候，此時與BC的交點為P2，根據點A、B、C的坐標可得，三角形ABC是直角三角形，角C為30°

由余弦定理可得

解得：

第二個臨界，軌跡圓恰好與BC收集板相切，由幾何關系可得，此時交點與P1重合。

則打到收集板上粒子的總長：

(3)粒子打在AB收集板的角度范圍是與x軸正方向0°~30°，打在BC板上的角度范圍是與x軸正方向成30°~90°。由于粒子是沿x軸均勻分布，故需要計算找出入射粒子的長度之比。

由幾何關系可得，進入第四象限的粒子入射的長度分布恰好是粒子源中左半部分的d，故只需找到與x軸正方向成30°入射的粒子進入圓心磁場的位置即可，

LMN=dsin30°=d/2