Question

如圖一所示，ABCD是一個T型支架，已知整個支架的質量為m₁=5kg，質心在BD上、離B點0.2m的O點處，BD=0.6m，D點通過鉸鏈連接在水平地面上，ABC部分成為一斜面，與水平地面間的夾角為37°，且AB=BC．現有一質量為m₂=10kg的鋼塊以v=4m/s的初速度滑上ABC斜面，鋼塊與斜面間的動摩擦因數μ=0.25．問：T型支架會不會繞D點轉動？

某同學的解題思路如下：
可以先算出鋼塊靜止在ABC上恰好使支架轉動的位置，如圖二所示．根據支架受力情況寫出此時力矩平衡的式子：M_N=M_f+M_G，可根據該式子求出該位置到C點的距離S₁；
（ M_N、M_f、M_G分別是鋼塊對斜面的壓力的力矩、摩擦力的力矩以及T型支架自身重力的力矩，其中N=m₂gcos37°，f=m₂gsin37°．）
然后算出鋼塊以4m/s的速度在斜面上最多能滑行的距離S₂；
比較這兩個距離：若S₁≥S₂，則T型支架不會繞D點轉動；若S₁＜S₂，則會轉動．
請判斷該同學的解題思路是否正確，若正確，請按照該思路，寫出詳細的解題過程，求出結果；若不正確，請給出你認為的正確解法．

Answer 1

分析：以支架為研究對象，應分析鋼塊對支架的壓力和滑動摩擦力，該同學把鋼塊對支架的摩擦力方向弄錯了，導致力矩平衡方程寫錯了．根據牛頓第二定律和運動學公式結合求解距離S₂；即可判斷支架能否轉動．

解答：解：該同學的思路中有一些錯誤．                         
鋼塊在斜面上運動時，對斜面產生的摩擦力是滑動摩擦力，方向沿斜面向上，恰好轉動時的力矩平衡的表達式應該是：
   M_N+M_f=M_G
m₂gcos37°×（S₁-0.8）+μm₂gcos37°×0.6=m₁g×0.4sin37°            
可解出S₁=0.8m，
另外，鋼塊沿斜面向上滑動的加速度為a=

mgsin37°+μmgcos37°

m

=gsin37°+μgcos37°=8m/s²，
若斜面固定鋼塊最多能滑行的距離S₂=

v2

2a

=1.0m，則 S₁＜S₂，所以T型支架會繞D點轉動．           
答：該同學的思路中有一些錯誤．T型支架會繞D點轉動．

點評：在運用力矩平衡條件處理問題時，關鍵要正確分析物體的受力情況，若力的方向搞反了，力矩的方向也就反了．