Question

如圖所示，火箭栽著宇宙探測器飛向某行星，火箭內平臺上還放有測試儀器．火箭從地面起飛時，以加速度豎直向上做勻加速直線運動（g為地面附近的重力加速度），已知地球半徑為R．
（1）到某一高度時，測試儀器對平臺的壓力是剛起飛時壓力的，求此時火箭離地面的高度h．
（2）探測器與箭體分離后，進入行星表面附近的預定軌道，進行一系列科學實驗和測量，若測得探測器環繞該行星運動的周期為T，試問：該行星的平均密度為多少？（假定行星為球體，且已知萬有引力恒量為G）

Answer 1

【答案】分析：1、以測試儀器為研究對象，根據牛頓第二定律求出某一高度處的重力加速度，再由重力等于萬有引力，代入數據求解火箭離地面的高度．
2、現根據萬有引力提供向心力，求出行星的質量，再根據密度的定義式，計算密度．
解答：解：（1）火箭剛起飛時，以測試儀為研究對象，受地球引力mg、平臺的支持力N₁，有：


根據牛頓第三定律，起飛時測試儀器對平臺的壓力大小為．
設火箭離地高為h時，平臺對測試儀器的支持力為N₂，則有：，其中G為萬有引力恒量，M為地球質量．
在地面附近，有：
則：
于是得到：
（2）設行星質量為M，行星平均密度為ρ，
又有：
得：．
答（1）到某一高度時，測試儀器對平臺的壓力是剛起飛時壓力的，此時火箭離地面的高度h為．
（2）探測器與箭體分離后，進入行星表面附近的預定軌道，進行一系列科學實驗和測量，若測得探測器環繞該行星運動的周期為T，則該行星的平均密度為．
點評：本題中g=稱為黃金代換式，反映了重力加速度與高度的關系，可根據重力與萬有引力推導出來的．