Question

在一原子反應堆中，用石墨碳做減速劑使快中子減速，已知碳的質量是中子的12倍，假設把中子和碳核的每次碰撞看作是彈性碰撞，而且認為碰撞前碳核都是靜止的．
（1）設碰撞前中子的動能為E，問經過一次碰撞，中子損失的能量是多少？
（2）至少經過多少次碰撞，中子的動能才能小于10^-6E₀（已知lg13=1.114，lg11=1.041）

Answer 1

分析：（1）中子與碳核發生彈性碰撞，遵守動量守恒和能量守恒，根據兩個守恒定律列方程求出碰撞后中子的速度，再求解經過一次碰撞后，中子的動能損失．
（2）采用數學歸納法，分別分析中子與碳核第一次碰撞后、第二次碰撞后…，第n次碰撞后中子剩余的動能，尋找規律，列出通項，由數學知識求出次數．

解答：解：（1）設中子的質量為m，速度為v₀，碳核的質量為M₀，二者碰撞后的速度分別為：v₁、v，
碰撞過程動量守恒、機械能守恒，以中子和碳核組成的系統為研究對象，以中子的初速度方向為正方向，
由動量守恒定律得：mv₀=mv₁+Mv          ①，
由機械能守恒定律得：

1

2

mv₀²=

1

2

mv₁²+

1

2

Mv²  ②
由①②可得：v₁=-

11

13

v₀，
碰撞一次，中子的動能損失為：△E=

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²=

1

2

mv₀²-

1

2

m（-

11

13

v₀）²=

48

169

?

1

2

mv₀²=

48

169

E₀；
（2）中子與碳核第一次碰撞后剩余的動能為：E₁=

1

2

mv₁²=

1

2

m（-

11

13

v₀）²=（

11

13

）²E₀，
同理經過第二次碰撞后，中子剩余的動能為：E₂=

1

2

mv₂²=

1

2

m（-

11

13

v₁）²=（

11

13

）^2×2E₀，
…
第n次碰撞后中子剩余的動能為：E_n=

1

2

mv_n²=

1

2

m（-

11

13

v_n）²=（

11

13

）²ⁿE₀=10^-6E₀，
有（

11

13

）²ⁿE₀=10^-6E₀，即（

11

13

）²ⁿ=10^-6，
兩邊取對數可得：2n（lg11-lg13）=-6，解得：n=41.1≈42次
答：（1）設碰撞前中子的動能為E₀，經過一次碰撞后，中子的動能損失是

48

169

E₀；
（2）至少經過42次碰撞，中子的動能才能少于10^-6E₀．

點評：微觀粒子的碰撞往往是彈性碰撞，遵守動量守恒定律和能量守恒定律兩大守恒定律．本題難點是運用數學方法求解物理問題．